2ème Concours de Jeux Mathématiques

Pour envoyer une solution à une énigme, répondez au mail correspondant de la liste.

Enigme n° 1 : La traversée des singes

Sur une rive du fleuve, il y a 3 humains, 1 grand singe, 2 petits singes, et 1 barque. Les humains et le grand singe sont capables de manœuvrer la barque, pas les petits singes. La barque peut convenir à 1 ou 2 occupants. De plus, il ne faut pas que les humains soient en infériorité numérique, sinon ils se font attaquer par les singes. Comment emmener tout ce petit monde de l'autre côté du fleuve ?

Solution

Enigme n° 2 : L'hexagone au cube

Je dispose d'un cube de bois et une scie. Je veux découper un volume dont au moins une face sera un hexagone régulier. Combien de coup(s) de scie au minimum vais-je devoir donner sur le cube ? Et comment ?

Solution

Enigme n° 3 : Chaîne d'hôtel

Louise a choisi de se retirer dans un hôtel sur le côte afin d'écrire son prochain roman. Elle arrive dans cet hôtel le 8 décembre ( aujourd'hui, donc ) et souhaite y rester jusqu'au matin du 14 avril. Afin de payer sa chambre d'hôtel pour toutes ces nuits, Louise a décidé de se défaire entièrement d'un bijou précieux. C'est une chaîne dont un maillon sur trois en platine pur suffit à régler le prix de sa chambre pour quatre nuits. Tous les trois maillons il y en a un en or qui paiera pour deux nuits et tous les trois maillons, un en argent valant le prix d'une seule nuit. Le patron de l'hôtel accepte ce mode de paiement mais refuse de faire le moindre crédit tandis que Louise ne veut en aucun cas payer pour une nuit d'avance. La confiance règne... Ils sont d'accord pour ne pas abîmer le bijou plus que nécessaire. Combien de maillons faudra t-il ouvrir et lesquels ? (2 solutions voisines.)

Enigme n° 4 : Mathématix

Autour du petit village bien connu peuplé d'irréductibles gaulois a été construit une palissade circulaire. Il n'y a que deux sorties diamétralement opposées. Obélix emprunte l'une des sorties et marche 300 pas droit devant lui pour y déposer son dernier menhir. Astérix sort par l'autre sortie mais tourne immédiatement sur sa gauche ( à angle droit ) et marche droit devant lui jusqu'à ce qu'il aperçoive le menhir d' Obélix. Il a alors marché pendant 900 pas. En rapportant ceci à Panoramix, le druide, celui-ci, fin mathématicien, lui dit qu'il est alors possible de connaître le rayon de la palissade. Comment fait Panoramix ?

Enigme n° 5 : Topographie Floue

Je sors de chez moi. Je marche à travers la plaine en suivant une route sur une distance que vous auriez bien voulu connaître. J'arrive au pied d'une colline et je commence à gravir un sentier qui monte jusqu'à une petite chapelle. Cette ascension me prend disons... un certain temps. Parvenu au sommet, je tourne aussitôt les talons et je reprend le même chemin pour regagner mes pénates où je constate que je me suis absenté trois heures. Ma vitesse en plaine est invariablement de 4 Km/h alors qu'elle n'est plus que de 3 Km/h dans les montées. Si je vous donnais ma vitesse dans les descentes, les plus perspicaces d'entre vous pourraient répondre à la question de ce problème qui est : " Quelle est la distance entre ma maison et la chapelle ?". Mais je n'en ferais rien sinon ça serait trop facile....

Enigme n° 6 : Musique de chambre à air

Pour se rendre à la salle de concert où ils risquent d'être en retard, trois musiciens, Allegro, Moderato et Piano, doivent traverser un pont. Allegro, le plus vif, peut le traverser en 2 minutes. Moderato, moins sportif en 5 minutes seulement. Piano, quant à lui, se limitera à 10 minutes pour cause d'embonpoint. Heureusement, ils disposent aussi d'une mobylette capable de faire le parcours en 1 minute mais incapable d'accueillir un second passager. Comment notre trio va-t-il procéder pour franchir le pont en un minimum de temps ? Et quel est ce temps minimal ?

Enigme n° 7 : Les mésaventures de Wapiti Fougueux

Wapiti Fougueux est un chef scout complètement égaré dans une grande forêt en compagnie des quatre louveteaux qu'il a sous sa responsabilité. Les voici parvenus à une clairière d'où partent quatre chemins. Notre héros dispose des informations suivantes:

- Il fera nuit noire dans 2 heures et demi.

- Quelqu'un a subtilisé les cartes, la boussole et les lampes-torche.

- L'un des chemin doit mener au camp de regroupement qui se trouve à moins d'une demi-heure de marche.

- Au moins deux de ses louveteaux sont fiables et disciplinés, les autres peuvent éventuellement chercher à l'induire en erreur de manière totalement imprévisible.

- Il ne sait pas lesquels sont susceptible de vouloir le tromper.

- Il peut lui-même participer aux recherches.

Comment doit-il procéder pour être certain de ramener sa troupe au camp avant la nuit ?

Enigme n° 8 : 3 petits problèmes

8.1 : Des triangles dans un carré
Partagez un carré d'aire 1 en 5 triangles de façon à minimiser la différence des aires du plus grand triangle et du plus petit triangle. Donner la manière de partager le triangle, mais aussi l'aire minimale.
8.2 : Des rectangles dans un carré
Trouver le plus petit carré qui peut être partagé en 5 rectangles ( qui ne se superposent pas ) dont les côtés ont des longueurs entières toutes différentes. Donner les dimensions du carré et les dimensions des 5 rectangles qu'il contient. S'il y a plusieurs solutions, on donnera celle qui contient le rectangle de plus petite aire.
8.3 : Des rectangles dans un rectangle

Combien y a-t-il de rectangles sur cette figure ?

Enigme n° 9 : Le billard

Si on cherche à disposer en triangle les 15 boules, numérotées de 1 à 15, d'une partie de billard américain de façon que chaque boule ( sauf celles situées sur la 1ère ligne ) soit la différence des 2 boules situées immédiatement au-dessus, on pourrait trouver la disposition suivante :
13 3 15 14 6
10 12 1 8
2 11 7
9 4
5
(la solution est unique à une symétrie près)
Généralisons :
Avec une pyramide de n étages, on peut chercher à placer les n(n+1)/2 premiers entiers toujours de façon à ce qu'ils obéissent à la même règle. Et si cela semble impossible avec n > 5, alors on peut chercher à minimiser le plus grand nombre utilisé ! Et ... c'est ce qui vous est demandé pour n = 8.
En résumé : il s'agit de minimiser le plus grand nombre utilisé dans une pyramide à 8 étages n'utilisant que des nombres entiers strictement positifs distincts tels que chaque boule ( sauf celles situées sur la 1ère ligne ) soit la différence des 2 boules situées immédiatement au-dessus.

Enigme n° 10 : 

Kasparov s'ennuie dans sa chambre d'hôtel, un soir. Il prend deux échiquiers et les superposent ( les cases d'une même couleur se superposent ).
En se demandant encore pourquoi il a joué ce satané fou au 31ème coup de sa partie du matin alors que sa position était gagnante, il fait pivoter l'échiquier du dessus autour d'un axe vertical passant par le centre des échiquiers, d'un angle de 45°.
Soudain, d'un air amusé, il se dit que les fous de la liste jeux maths se demanderaient quelle est l'aire totale des parties des cases noires de l'échiquier du dessus recouvrant des cases noires de l'échiquier du dessous.
Et il a raison ! Effectivement, on se le demande ! Alors, qu'en pensez-vous ? ( l'aire d'une case est 1 )

Commentaires 20 points pour une réponse correcte argumentée.

Dates énigme publiée le : dimanche 05/01/03. envoyer sa solution avant : dimanche 12/01/03 minuit. solution et classement provisoire : avant dimanche 19/01/03.