Réponse à l'énigme n° 2

Un seul coup de scie suffisait pour donner la surface demandée. La coupe passant par le centre du cube et perpendiculaire à une grande diagonale. Le plan de découpe peut être défini par le milieu de 6 des 12 arrêtes du cube. Ces points définissant les sommets d'un hexagone dont on montre aisément que les 6 côtés sont de longueurs égales. Certes, encore fallait-il prouver que les 6 sommets se trouvent bien dans un même plan car quand on raisonne en 3 dimensions, il faut peut-être se méfier des apparences.

On pouvait y parvenir par exemple en montrant que deux côtés successifs forment toujours un angle de 120° ou en indiquant les équidistances entre chaque sommets de l'hexagone et deux des coins opposés sur le cube.

On pouvait aussi utiliser un système de coordonnées :

Considérons le cube ABCDEFGH avec :
A (0,0,1)
B (1,0,1)
C (1,1,1)
D (0,1,1)
E (0,0,0)
F (1,0,0)
G (1,1,0)
H (0,1,0)

Considérons maintenant les 6 points suivants :
I = milieu de [A,D] = (0,1/2,1)
J = milieu de [A,B] = (1/2,0,1)
K = milieu de [D,H] = (0,1,1/2)
L = milieu de [B,F] = (1,0,1/2)
M = milieu de [G,H] = (1/2,1,0)
N = milieu de [FG] = (1,1/2,0)

Il est clair que ces 6 points sont coplanaires ( plan P : x + y + z = 3/2 ), et que : IJ = JL = LN = NM = MK = KI.
Une coupe suivant le plan P révèlera donc une face qui est l'hexagone régulier IJLNMK.