133 Deux problèmes plaisants

 

1 ) Le premier est un classique :
transformation des x,y par arctan bijection de IR dans ]-pi/2;pi/2[
découpage de l'intervalle ]-pi/2;pi/2[ en 12 sous-intervalles d'amplitude
pi/12.
application du principe de Dirichlet => il y en a 2 qui sont dans un même
intervalle, donc compris entre 0 et pi/12.
transformation inverse par tan bijection continue croissante de ]-pi/2;pi/2[
dans IR.
tan(pi/12)=2-sqrt(3) (pour le montrer il suffit de remarquer que tan(pi/12)
est la solution positive de l'équation
X²+2*sqrt(3)X-1=0 provenant de
tan(pi/12+pi/12)=1/sqrt(3)=2tan(pi/12)/[1-tan²(pi/12))
attention l'inégalité à gauche n'est stricte que si l'on suppose les réels
distincts 2 à 2 (sinon considérer 13 réels égaux et cela ne marche plus !)

2 ) Résolution de l'équation x^3 + 3367 = 2^n où x et n sont entiers.

Remarque préliminaire :
3367 = 7*13*37 = 15^3 - 2^3
14^3 = 2744
15^3 = 3375

* n=0 : x^3 = -3366 => pas de solution en nombre entier
* n=3 : x^3 = -3359 => idem

* n>=1 :

** modulo 2 : x^3 = 1 [2] <=> x = 1 [2] (x impair)

** modulo 7 : x^3 = 2^n [7]

Comme 2^3 = 1 [7], 2^n prend ses valeurs parmi 1,2,4 modulo 7
2^0 = 1 [2]
2^1 = 2 [2]
2^2 = 4 [2]
Par ailleurs, x^3 prend ses valeurs parmi 0,1,6 modulo 7
0^3 = 0 [7]
1^3 = 2^3 = 4^3 = 1 [7]
3^3 = 5^3 = 6^3 = 6 [7]

=> x^3 = 2^n = 1 [7]
=> en particulier n = 0 [3]
Posons n = 3p.

D'où 3367 = (2^p)^3 - x^3 = a*b
où a = 2^p - x et b = 2^(2p) + x*2^p + x^2
a^2 = b - 3*x*2^p
D'où x*2^p = (b-a^2)/3
Compte tenu de la condition a^2 < b, il ne reste que 3 cas :

(a;b) = (1;3367)
=> x*2^p = 1122
=> p=1, n=3, x=561
pas de solution

(a;b) = (7;481)
=> x*2^p = 144
=> p=4, n=12, x=9
solution : 9^3 + 3367 = 729 + 3367 = 4096 = 2^12

(a;b) = (13;259)
=> x*2^p = 30
=> p=1, n=3, x=45
pas de solution 

Bilan : 1 seule solution (x;n) = (9;12)