On peut raisonnablement supposer que les âges s'écrivent avec 2 chiffres (2
générations séparent Joëlle de son grand-père).
L'âge du grand-père s'écrit donc 10b+a = (a+b)^2.
Parmi les carrés à 2 chiffres, seul 81 est égal au carré de la somme de ses
chiffres. Joëlle a donc 18 ans et son grand-père 81 ans.

Généralisation : Y a-t-il d'autres nombres entiers ap...a0 (ap<>0) vérifiant l'équation
sum(i=0;p;ai*10^i) = sum(i=0;p;ai^2) ?

Soit un tel nombre an...a0 avec an<>0.
Rappelons que pour tout i, 0<=ai<=9.
an*10^n <= sum(i=0;n;ai*10^i)
sum(i=0;n;ai^2) <= 81(n+1)
an <= 81(n+1)/10^n
D'où on doit avoir n tel que 1 <= 81(n+1)/10^n = u(n) (car an<>0).
u(n) > 0
u(n+1)/u(n) = (n+2)/10(n+1) = (1+1/(n+1))/10 < 1
u(n) est décroissante.
u(0) = 81
u(1) = 16.2
u(2) = 2.43
u(3) < 1
D'où n<=2.

Mis à part 0,1 et 81, il reste à vérifier les nombres à 3 chiffres de 100 à 299. Pour les nombres entre 167 et 299, il suffit de remarquer qu'au plus nous parviendrons à 2*(9^2) + 2^2 = 166. En continuant ce genre de majoration on élimine progressivement les nombres restants.

Conclusion : 0, 1 et 81 sont les seules solutions de cette équation.