1. Voir un document word avec plusieurs réponses.

2. Il y a 4 possibilités :
1x6, 2x10, 3x9, 4x7, 5x8 = carré 11x11
1x9, 2x8, 3x6, 4x7, 5x10 = carré 11x11 
1x2, 3x7, 4x6, 5x10, 8x9 = carré 13x13 
1x2, 3x8, 4x5, 7x9, 6x10 = carré 13x13
La première possibilité répond donc à la question posée.

Tout d'abord, considérons les aires mini et maxi que les rectangles peuvent former, sans former nécessairement de carrés.
L'aire maxi est (10*9)+(8*7)+(6*5)+(4*3)+(2*1)=190.
L'aire mini est (10*1)+(9*2)+(8*3)+(7*4)+(6*5)=110.
Les trois carrés possibles sont donc d'aire 121 (11 par 11), 144 (12 par 12), ou 169 (13 par 13).

4 rectangles doivent former les 4 coins du carré alors que le cinquième sera "intérieur". Il en est nécessairement ainsi car les côtés des rectangles sont de longueurs différentes. Chaque côté d'un carré est donc formé des côtés ( différents ) de deux rectangles.

Supposons que l'on puisse construire un carré 12 par 12.

les côtés sont nécessairement : 10+2, 9+3, 8+4, 7+5. Le rectangle "intérieur" est alors de dimensions 6 par 1. 

Mais chaque côté du carré, de longueur 12, doit aussi être constitué de la longueur ( grand côté ) d'un rectangle et de la largeur ( petit côté ) du second rectangle. 
Pour former un rectangle "intérieur" de côté 6, il faut soustraire deux côtés de deux rectangles différents : les possibilités sont 10-4=6 et 8-2=6. ( en effet, 9-3=6 n'est pas possible car ces deux dimensions doivent former un côté ).
Cas 10-4 : nous aurions le côté 10+2 et le côté 8+4 opposés, alors que les deux autres côtés opposés seraient 9+3 et 7+5. Tous ces nombres sont impairs, et la soustraction de deux d'entre eux devrait donner la largeur 1 du rectangle "intérieur" : c'est impossible.
Cas 8-2 : c'est la même chose avec 10+2 et 8+4 opposés et la même impossibilité.
Conclusion : le carré 12 par 12 est impossible.

Carré 13 par 13 : Nous aurons des côtés de longueur 10+3, 9+4, 8+5, et 7+6, et un rectangle "intérieur" de 2 par 1.

Carré 11 par 11 : Nous aurons des côtés de longueur 10+1, 9+2, 8+3, et 7+4, 6+5. 4 rectangles forment les coins, l'un d'entre eux est le rectangle "intérieur".

Voir aussi un document word avec plusieurs autres réponses.

3.

La bonne réponse était 825 rectangles.
Un rectangle sera défini par une paire de droites verticales et une paire de droites horizontales. Le problème revient à choisir deux droites verticales parmi 11, ce que l´on peut faire de 11 !/(9 !2 !)=55 façons ,et deux droites horizontales parmi 6 , ce que l´on peut faire de 6 !(4 !2 !)=15 façons. Il y a donc 55*15=825 rectangles dans la figure.
Généralisation : Dans un rectangle m x n, il y a (m*(m+1)/2)*(n*(n+1)/2)
rectangles. Ici, avec m=10 et n=5, cela donne 825 rectangles.