126 Mathématix

 

Prenons une unité de 300 pas. 

Obélix est à une distance de 1 de sa porte, et Astérix à une distance de 3 de l'autre porte. De plus, le rayon lumineux Astérix - Obélix est tangent à la palissade. 
Sur la figure ci-dessous, le grand triangle et le petit triangle bleu ont deux angles identiques : un angle droit et l'angle représenté en vert. Ces deux triangles sont donc semblables, ce qui permet d'écrire, en notant x le grand côté du triangle bleu : x/r = (1+2r)/3, d'où x = r(1+2r)/3
Le théorème de Pythagore dans le triangle bleu donne x^2+r^2 = (1+r)^2 , soit x^2 = 1+2*r.

On obtient donc (r(1+2r)/3)^2 = 1+2r , soit après simplification de 1+2r : r^2(1+2r)=9 ou 2r^3 + r^2 - 9 = 0

On cherche une racine évidente rationnelle ( numérateur diviseur de 9, dénominateur diviseur de 2) et on trouve 3/2.

Ainsi 2r^3 + r^2 - 9 = (2r-3)(r^2 +2r +3 ). Le discriminant du trinôme r^2 + 2r + 3 étant strictement négatif, il n'y a pas d'autre racine réelle.

Le rayon de la palissade est donc de 3/2*300 = 450 pas.