122 Une île triangulaire

 

Soit I le centre du cercle inscrit et r son rayon. r est aussi la distance de I à la mer.
Soit P un point quelconque de ABC. Il fait partie de l'un des 3 triangles IAB, IAC ou IBC. Supposons que ce soit IAB (le raisonnement est aussi valable dans les 2 autres cas). La distance de P à la mer est en tout cas inférieure ou égale à la distance de P à AB (considérer la perpendiculaire à AB par P). Et la distance de P à AB est inférieure à r (égale à r si P = I), car P appartient au triangle IAB, et r est la longueur de la hauteur issue de I. P est donc plus proche de la mer que I, cqfd.