Après avoir vérifié que 0 n'est pas une racine de P, on peut écrire pour tout X <> 0 : P(X) = X^n (1-g(X)), avec g(X) = a(1)/X + a(2)/X^2 + ... + a(n)/X^n. Les racines réelles positives de P sont celles de 1-g. En tant que somme de fonctions décroissantes sur ] 0 ; + infini ), g est strictement décroissante sur ] 0 ; + infini ). Ainsi, 1-g est strictement croissante sur ] 0 ; + infini ). D'autre part : quand X --> 0+ , 1-g(X) --> - oo quand X --> + oo, 1-g(X) --> 1. Comme 1-g est continue, strictement croissante et change de signe sur  ] 0 ; + infini ), alors 1-g s'annule une et une seule fois. On en conclut que P a une unique racine réelle positive.