( Ce problème est connu sous le nom des lunules d'Hippocrate )

Puisque le triangle ABC est inscrit dans un cercle, et qu'un de ses cotés est un rayon, il est rectangle.
On applique le théorème de Pythagore : AB²+BC²=AC².
L'aire des petits demi-cercles est de :
Pi*(AB/2)²+Pi*(BC/2)²
Pour obtenir l'aire des lunules (en violet), on doit en retrancher le complémentaire (en vert) de l'aire du triangle (en rouge) dans un demi-grand cercle, ie Pi*(AC/2)²-A(ABC)
L'aire des lunules est donc :
A(lunules)=Pi*(AB/2)²+Pi*(BC/2)²-(Pi*(AC/2)²-A(ABC))
=Pi*(AB²+BC²-AC²)/4+A(ABC)
=A(ABC)
Ce qui est la relation recherchée.