C'est l'exercice 5 du concours général de 1992.

On pose x = 10^1992 / (10^83 + 7), et on cherche à quoi est congrue la
partie entière de x modulo 10.
on remarque que 1992 = 83*24, et, en posant a = 10^83, on a x = a^24/(a+7) = a^23/(1+7/a).
On sait que :
1-z+z^2-z^3+...-z^23 = (1-z^24)/(1+z) (somme des termes d'une suite
géométrique de raison -z)
donc 1/(1+z) = 1-z+z^2-z^3+...-z^23 +z^24/(1+z)
En appliquant ceci à z = 7/a, on obtient :
x = a^23 * (1-7/a +(7/a)^2 -(7/a)^3 + ... +(7/a)^22 -(7/a)^23
+(7/a)^24/(1+7/a))
= a^23 -7*a^22 + 7^2*a^21 - 7^3 * a^20 + ... +7^22 *a - 7^23 + 7^24/(a+7)
= k*a - 7^23 + epsilon , avec k entier
et epsilon = 7^24/(10^83 +7) qui est compris entre 0 et 1
La partie entière de x est donc k*10^83 - 7^23
modulo 10, cette partie entière est congrue à -7^23
or 7^4 congru à 1 modulo 10, donc 7^23 = (7^4)^5 * 7^3 est congru à 7^3
modulo 10
finalement la partie entière de x est congrue à -7^3 = -3 = 7 modulo 10.

On peut essayer de généraliser : que se passe-t-il si on prend une autre
valeur que 24 ?
avec 25 par exemple : chiffre des unités de la partie entière de
10^2075/(10^83 + 7)
On refait le même calcul, mais il ne faut pas se laisser piéger : epsilon
est maintenant compris entre -1 et 0, si bien que la partie entière n'est
pas congrue à 7^24, mais à 7^24 - 1, soit 0.

Plus généralement, en prenant n à la place de 24, et tant que n n'est pas
trop grand pour que abs(epsilon)<1, partie entière de x est congrue à
(-7)^(n-1) + (1/2)*((-1)^n -1), ce dernier terme pour tenir compte du
epsilon alternativement positif et négatif. Si n est respectivement congru à
0, 1, 2, 3 modulo 4, on trouve que la partie entière de x est respectivement
congrue à 7, 0, 3, 8 modulo 10.

Réponse de Marian Marinescu :

La réponse est 7 . Voici ma démarche : 
((10*X)^n)/(10*X+c) = ((10*X+c-c)^n)/(10*X+c) . On note [..] = partie entière :
Si 0 =< (-c)^n < 10*X et n > 0 on obtient :
N = [((10*X)^n)/(10*X+c)] = Sum(k=1,..,n){((10*X+c)^(k-1))*((-c)^(n-k))*C(k,n)} ==
== Sum(k=1,..,n){(c^(k-1))*((-c)^(n-k))*C(k,n)} = (1/c)*Sum(k=1,..,n){(c^k)*((-c)^(n-k))*C(k,n)} =
= (1/c)*((c-c)^n - (-c)^n) = (-c)^(n-1) (modulo 10)
Si n=4*m >0 , alors N == - c^(4*m-1) == - (c^3)*((c^4))^(m-1)) (modulo 10)
On voit tout de suite que N == - c^3 (modulo 10) :
c = 0 ===> N==0 ; c = 5 ===> N == 5
c ¬ {1,3,7,9} ===> c^4==1 ===> N == -c^3 ¬ {9,3,7,1} 
c ¬ {2,4,6,8} ===> c^4==6 ===> N == - 6*(c^3) == -c^3 ¬ {2,6,4,8}
Dans notre cas on a X=10^82, n = 24 , c=7 , donc N==7 (modulo 10)