Je note : A = intersection des tangentes "extérieures" aux cercles 01,O2
B = intersection des tangentes "extérieures" aux cercles 02,O3
C = intersection des tangentes "extérieures" aux cercles 03,O1
[P,Q] = la distance "orientée" entre P et Q : [P,Q] = - [Q,P]
Considérons les tangentes extérieures aux cercles O1,O2 :
droite(A,U1,U2) tangente à O1 en U1, à O2 en U2 , donc dist(O1,U1)=R1, 
dist(O2,U2)=R2
droite(A,V1,V2) tangente à O1 en V1, à O2 en V2
Evidemment : A,O1,O2 sont co-linéaires , et (A,O1,U1), (A,O2,U2) sont 
semblables
Donc : dist(A,O1)/dist(A,O2) = R1/R2
Comme A est à l'extérieur de O1O2 on obtient : [O1,A]/[A,O2] = - R1/R2
De façon analogue on a :
B,O2,O3 co-linéaires, [O2,B]/[B,O3] = -R2/R3
C,O3,O1 colinéaires , [O3,C]/[C,O1] = -R3/R1
On voit tout de suite que : ([O1,A]/[A,O2])*([O2,B]/[B,O3])*([O3,C]/[C,O1]) 
= -1
et selon le th. de Menelaüs les points A,B,C sont alignés (q.e.d)
On voit facilement que l'alignement reste valable aussi dans le cas où deux 
points sont
intersection des tangentes "intérieures", le troisième étant intersection 
des tangentes "extérieures".

Autre solution :

Deux cercles extérieurs de rayons distincts se correspondent dans deux
homothéties, l'une de rapport négatif dont le centre est le point
d'intersection des tangentes communes intérieures, l'autre de rapport
positif dont le centre est le point d'intersection des tangentes communes
extérieures.
Les trois points d'intersection des tangentes communes extérieures de
l'exercice sont donc les centres d'homothéties positives des cercles :
l'une transforme le cercle 1 en le cercle 2 et a pour centre A
la deuxième transforme le cercle 2 en le cercle 3 et a pour centre B
la troisième transforme le cercle 1 en le cercle 3 et a pour centre C
la troisième est donc la composée de la première suivie de la deuxième, et
son centre C se trouve sur la droite AB.
Cette droite est l'un des axes d'homothétie des trois cercles. Il en existe
3 autres sur chacun desquels on trouve deux centres d'homothéties négatives
et un centre d'homothétie positive.

Autre solution :

Les cercles Oi et Oj sont homothétiques par une homothétie de centre Mk 
(i,j,k différents)
J'appelle les homothéties du même nombre que leur centre
O1 donne O2 par M3, puis O3 par M1
O1 donne O3 par M2
M3 donne M3 par M3, puis M par M1 et M est sur M1M3
M3 donne M par M2 et M est sur M2M3
Si M1M3 et M2M3 se coupent, c'est en M3, donc M3 donnerait M3 par 
l'homothétie M2,
ce qui est idiot. Donc M1M3 et M2M3 sont confondus (ils ont un point commun)
M1,M2,M3 sont alignés

Il est encore plus simple de dire que le produit de deux homothéties est une
homothétie de centre aligné avec les deux autres.