114 Un problème chinois

Soient y1, y2, ... , y9 les 9 réels distincts.
La fonction tan est une bijection de ]-Pi/2, Pi/2[ sur R. Il existe 9 réels x1, x2,
... , x9 dans l'intervalle ]-Pi/2, Pi/2[ tels que, pour tout i de 1 à 9, yi = tan xi.
On partage l'intervalle ]-Pi/2, Pi/2[ en 8 intervalles d'amplitude Pi/8, bord gauche exclu, bord droit inclus (sauf le dernier).
D'après le principe des tiroirs, il existe deux xi qui sont dans le même intervalle : si on appelle xa le plus petit et xb le plus grand, on a : 0 < xa - xb < Pi/8. (égalité stricte à gauche parce que les yi, et donc les xi sont distincts ; à droite parce que les 8 intervalles sont semi-ouverts ou ouverts).
Puisque tan est strictement croissante sur [0, Pi/8], on a 0 < tan(xa-xb) < tan(Pi/8).
On a encore 0 < (tan(xa) - tan(xb))/(1 + tan(xa)*tan(xb)) < sqrt(2) - 1.
tan(xa) et tan(xb) sont deux des yi, que l'on note a et b.

Généralisation du problème

Considérons l'énoncé plus général :
" Soit une bijection f réelle, croissante, définie sur un intervalle réel :
f:]u,v[ ---> R
Notons avec g la fonction inverse de f.
Alors parmi n réels distincts, n>3, on peut en trouver deux, a et b, tels que : 

(e): f((u+v)/2) < f((u+v)/2 + g(a)-g(b)) < f((u+v)/2 + (v-u)/(n-1)) "
En effet, considérons n réels y(1) < y(2) < .. < y(n) , et notons x(1)=g(y1),..,x(n)=g(y(n))
g est croissante puisque f est croissante donc u < x(1) < x(2)< .. < x(n) < v ,
Il est évident qu'il existe g(y(k))=x(k),g(y(k+1))=x(k+1) tels que 0 < g(y(k+1))-g(y(k))= x(k+1)-x(k) = min{x(2)-x(1),x(3)-x(2),..,x(n)-x(n-1)} < (v-u)/(n-1)
Et comme f est croissante on a :
f((u+v)/2) < f((u+v)/2 + g(y(k+1))-g(y(k)) < f((u+v)/2 + (v-u)/(n-1)) , ce
qui prouve l'énoncé (e) ci-dessus.
Considérons le cas particulier : f(x) = tan(x) , u=-pi/2 , v=+pi/2 , g(y)=arctan(y), n=9
L'énoncé (e) devient : tan(0) < tan(arctan(a)-arctan(b)) < tan(pi/8)
Mais tan(0)=0, tan(arctan(a)-arctan(b)) = (a-b)/(1+ab) et tan(pi/8) = sqrt(2)-1,
d'où 0 < (a-b)/(1+a*b) < sqrt(2)-1 (q.e.d)