Soit u(0) l'héritage, et u(i) ce qui reste de l'héritage lorsque le i-ème enfant s'est servi. On a alors :
u(i+1) = ( u(i) - (i+1)*a ) * (n-1)/n
On cherche les constantes r et s de façon que la suite v définie par :
v(i) = u(i) + r*i +s
soit géométrique, et on trouve r = a*(n-1) et s = -a*(n-1)^2.
v est géométrique de raison (n-1)/n, ce qui donne :
u(i) = (u(0) - a*(n-1)^2)*((n-1)/n)^i - a*(n-1) * i +a*(n-1)^2.
La part du (i+1)-ème enfant est :
u(i+1) - u(i) = (u(0) - a*(n-1)^2) * (-1/n) * ((n-1)/n)^i + a*(n-1)
Cette part devant être indépendante de i, on doit prendre n = 1 ou u(0) = a*(n-1)^2.
Conclusion :
si n = 1, il y a un seul enfant qui prend tout l'héritage dont on ne peut connaître le montant :
sa part est : a + (u(0)-a)/1 = u(0)
si n >= 2, il y a n-1 enfants, l'héritage est de a*(n-1)^2, et chaque part est de a*(n-1).
Par exemple
si n = 2, un enfant a tout l'héritage égal à a : a + 0/2 = a ;
si n = 3, deux enfants se partagent l'héritage égal à 4*a :
le premier : a + 3*a/3 = 2*a
le second : 2*a + 0/3 = 2*a
si n = 10, cas courant dans la littérature, 9 enfants se partagent l'héritage égal à 81*a :
le premier : a + 80*a/10 = 9*a
le deuxième : 2*a + 70*a/10 = 9*a
..........
le neuvième : 9*a + 0/10 = 9*a.

Ce partage est à la portée de tous : soit un héritage h, h réel strictement positif, à partager également entre e enfants, e entier naturel non nul. Il suffit d'appliquer l'algorithme de l'énoncé avec a = h/e^2 et n = e+1


Commentaire : Bien que problème très ancien, cela n'a pas empêché les camarades de le proposer à l'Olympiade Internationale de 1967 (il me semble qu'à l'époque seulement le bloc communiste y participait) :

9th IMO 1967

In a sports contest a total of m medals were awarded over n days. On the first day one medal and 1/7 of the remaining medals were awarded. On the second day two medals and 1/7 of the remaining medals were awarded, and so on. On the last day, the remaining n medals were awarded. How many medals were awarded, and over how many days?