113 Un problème d'héritage

 

Je propose le célèbre problème suivant, dû au médecin et mathématicien Nicolas Chuquet, qui vivait au 14ème siècle :

Des frères se partagent un héritage.
Le premier prend a euros puis la n-ième partie du reste ;
ensuite, le second prend 2a euros, puis la n-ième partie du nouveau reste ;
ensuite, le troisième prend 3a euros, puis la n-ième partie du nouveau reste;
et ainsi de suite.
Ils ont alors la même part.
Combien y a-t-il de frères ? A combien se monte l'héritage ?

Vous noterez que l'énoncé a été mis à jour depuis le 14ème siècle. D'autre part, on trouve souvent des solutions qui ne font appel qu'à l'égalité de deux parts, la première et la deuxième le plus souvent, et qui ignorent les autres parts. Il serait mieux d'utiliser l'égalité de toutes les parts.

 

solution