399 = 3*7*19,  et 37 est congru à 1 modulo 2, 6 et 18.
D'après le théorème de Fermat, pour tout entier a non multiple de 3, on a a^2 congru à 1 modulo 3, donc a^37 = (a^2)^18 * a congru à a modulo 3, et cette dernière propriété est encore vraie pour a multiple de 3.
De même a^37 est congru à a modulo 7 et modulo 19, pour tout entier a.
Si une somme d'entiers est nulle, donc nulle modulo 3, la somme de leurs puissances 37 est donc aussi nulle modulo 3 ; de même modulo 7 et modulo 19.
Cette somme est alors divisible par 3, 7 et 19 premiers entre eux, donc par leur produit 399.
Je dirais même plus. Prenons les diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
ajoutons leur 1 : 2, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 19, 37
ne retenons dans cette liste que les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 13, 19, 37.
Le raisonnement précédent s'applique à ces sept nombres premiers comme il s'appliquait à 3,7 et 19. La somme des puissances 37 est donc divisible par 2*3*5*7*13*19*37 = 1 919 190.
Réciproquement, on trouve facilement deux sommes de puissances 37 dont le pgcd est 1 919 190. On ne peut donc améliorer le résultat précédent, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de nombre strictement supérieur à 1 919 190 qui divise toutes les sommes de puissances 37.

Voici une généralisation du problème :

On va démontrer la proposition plus générale suivante :

Si :

- p[1],p[2],..,p[m] = m entiers premiers  positifs  et tous différents
- Q = entier  positif tel que Q-u  soit divisible par chaque p[i]-1 (i=1,..,m)
- La somme Su des puissances d'ordre u (entier positif),  de n entiers (positifs, nuls ou négatifs), est  divisible par  p[1]*..*p[m]
Alors:   La somme de leurs Q-ème  puissances est divisible par p[1]*..*p[m]

La démonstration repose sur le résultat intermédiaire suivant :  (X^Q)==X^u (modulo p[i]) ,   pour tout i=1,..,m,  et tout X entier
Le résultat est évident si X est divisible par p[i], sinon on utilise le petit théorème de Fermat :
{Q-u est divisible par   p[i]-1} ===> {Q = t*(p[i]-1)+u} ===> {X^Q = X^(t*(p[i]-1)+u) =( X^u)*((X^t)^(p[i]-1))} ===> {(X^Q)==X^u (modulo p[i])}
Notons  : X[1],...,X[n] les n entiers tels que   Su=X[1]^u +...+ X[n]^u soit divisible par p[1]*...*p[m]
            Sq = X[1]^Q + ... X[n]^Q
Selon le résultat intermédiaire on a :  (X[k]^Q) == (X[k]^u) (modulo p[i]) , pour tous k=1,..,n et  i=1,..,m
En additionnant selon k, il  résulte  : Sq == Su (modulo p[i])  ,  pour tout i=1,...,m
Mais  Su == 0 (modulo p[i]),  donc Sq == 0 (modulo p[i]) , et comme  les p[i] sont premiers et tous différents, il résulte que Sq est divisible par le produit p[1]*..*p[m]  (q.e.d)
Le cas particulier de l'énoncé s'obtient pour : u=1 ,m=3, p1=3, p2=7, p3=19, Q=37