Plusieurs réponses et plusieurs résultats à cet intéressant problème de probabilités. Tout n'est pas clair encore ... N'hésitez pas à proposer votre réaction sur la liste.

Réponse n° 1 ( Michel Gaydier )

Rappel sur les proba conditionnelles : Si a et b sont deux événements indépendants la probabilité de a sachant b vaut p(A/B)= p(a et b)/p(b). Les probas du contenu du sac sont :
1. BBBBB : 1/2^5
2. BBBBN : 5/2^5
3. BBBNN : 10/2^5
4. BBNNN : 10/2^5
5. BNNNN : 5/2^5
6. NNNNN : 1/2^5
la probabilité de tirer n fois une B dans un sac contenant k blanches vaut (k/5)^n
b (3 tirages B) : P(3) = 1/2^5 * (1*1 + 5*(4/5)^3 + 10 * (3/5)^3 + 10*(2/5)^3 + 5* (1/5)^3) = 1/5
a et b (3+1 tirages B) : P(4) = 1/2^5/5^3*(125+256+162+32+1) = 18/125
Donc P(a/b) = (18/125)*5 = 18/25
Pour se réconcilier avec l'intuition : Au premier tirage, la proba de B est de 1/2, résultant de tous les cas possibles de BBBBBB à NNNNN. Après le premier tirage B, le cas NNNNN est éliminé. Il est donc clair que la proba de B a augmenté ! Après une grand nombre de tirage de B (disons 100, 1000) l'intuition nous mène à affirmer : il n'y a que des B dans le sac (en fait c'est seulement très probable) donc au prochain coup, on sortira encore un B. Après 10B la proba du 11ème B est de 91,7% , après 20B de 98,9 , après 30B de 99,9 , après 100B, Excel sature à 100%.

Réponse n° 2 ( Daniel Wild )

On peut procéder avec un arbre à trois niveaux
Niveau 1 : composition de l'urne (6 branches, de 5R et 0B à 0R et 5B,
pondérées par les coefficients du binôme)
Niveau 2 : proba de tirer 3 boules blanches (2 branches : BBB et son
contraire, pondérées par des coeff du type (k/5)^3 où k est le nb de boules
blanches)
Niveau 3 : proba de tirer une (quatrième) boule blanche.

On en tire p(BBB)=1/32 * 1 + 5/32 * (4/5)^3 + ... + 1/32 * 0 = 1/5
et p(BBBB)= 1/32 * 1 + 5/32 * (4/5)^4 + ... + 1/32 * 0 = 18/125
d'où la proba qui nous intéresse :
p(BBBB|BBB)=p(BBBBetBBB)/p(BBB)=p(BBBB)/p(BBB)=18/25

Réponse n° 3 ( Guigui )

Soit xB l'évènement : on a x boules blanches (donc x entier compris entre 0 et 5). Soit T3 l'évènement : on tire 3 boules blanches à la suite, et T l'évènement : on tire 1 boule blanche.
En faisant un arbre, on trouve que p(T3)=1/5
de plus, on a : p(xB/T3)=p(xB inter T3)/p(T3)
et donc la probabilité que la prochaine boule soit blanche est de :
p=p(5B/T3)*p(T/5B)+p(4B/T3)*p(T/4B)+p(3B/T3)*p(T/3B)+p(2B/T3)*p(T/2B)+p(1B/T3)*p(T/1B)+p(0B/T3)*p(T/0B), 
d'où
p=5/32*1+2/5*4/5+27/80*3/5+1/10*2/5+1/160*1/5+0 , et donc le résultat cherché est : 18/25

Réponse n° 4 ( Caroline Jimenez )

Initialement (Bernoulli)
probabilité d'avoir 1 boule blanche exactement dans le sac : 5/(2^5)
probabilité d'avoir 2 boules blanches exactement dans le sac : 10/(2^5)
probabilité d'avoir 3 boules blanches exactement dans le sac : 10/(2^5)
probabilité d'avoir 4 boules blanches exactement dans le sac : 5/(2^5)
probabilité d'avoir 5 boules blanches exactement dans le sac (1/2)^5

Sachant que le sac contient au moins un boule blanche (puisqu'on a pu en sortir une blanche au premier tirage),
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 1 boule blanche exactement est: 5/31 (d'après ce qui précède)
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 2 boules blanches exactement est: 10/31
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 3 boules blanches exactement est: 10/31
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 4 boules blanches exactement est: 5/31
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 5 boules blanches exactement est: 1/31

Si le sac contient une boule blanche exactement, la probabilité de tirer cette boule au quatrième tirage est la même que celle de la tirer au premier tirage, c'est à dire 1/5 (parce qu'on est dans le cas de tirages avec remise). De même, si le sac contient 2 boules blanches exactement, la probabilité de tirer une boule blanche au quatrième tirage est 2/5 etc... On peut alors faire un arbre pour éclairer le raisonnement...

Conclusion
La probabilité d'obtenir une boule blanche au quatrième tirage devient alors:
(5/31)*(1/5)+(10/31)*(2/5)+(10/31)*(3/5)+(5/31)*(4/5)+(1/31)*(5/5) = 16/31

Réponse n° 5 ( Marian Marinescu )

Comme d'habitude on suppose que les tirages sont indépendants et équiprobables.
Au moment du 4e tirages je sais qu'il y a une boule de type B (blanche), les autres 4 boules étant de type I (indéfini).
Une boule de type I a la probabilité 1/2 d'être blanche (cf. "pile ou face").
Donc la probabilité d'obtenir une blanche sera : Pr(blanche) = 1/5 +(4/5)*(1/2) = 3/5

Réponse n° 6 ( Daniel Dubuisson )

Voici une interprétation de l'énoncé, d'autres sont sans doute possibles.
Je suppose la pièce bien équilibrée, c'est-à-dire que la probabilité d'obtenir pile est 1/2. Alors le nombre de boules blanches dans le sac suit la loi binomiale de paramètres 5 et 1/2, donc la probabilité d'avoir mis n boules blanches dans le sac (n pouvant varier de 0 à 5) est C(5, n) /32.
Je suppose les tirages successifs indépendants. Le tirage de la quatrième boule ne dépend pas des tirages précédents, et le fait qu'on ait tiré 3 boules blanches ne m'apporte aucune information supplémentaire.
Je suppose les boules indiscernables au toucher. Si le sac contient n boules blanches, la probabilité de tirer une boule blanche est n/5. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de tirer une boule blanche est : somme( n/5 * C(5, n)/32, n=0..5) = 1/2.

Réaction ( Guigui )

Donc à ce problème sur les probas, on trouve plusieurs résultats ? Je vais 
me pencher là dessus. A la première lecture du mail, une chose me frappe :
Daniel Dubuisson dit que "Le tirage de la quatrième boule ne dépend pas des 
tirages précédents, et le fait qu'on ait tiré 3 boules blanches ne m'apporte 
aucune information supplémentaire."
Il me semble que cette affirmation est fausse étant donné que le fait 
d'avoir déjà pioché 3 boules blanches rend certaines configurations plus ou 
moins probables (nombre de boules blanches dans le sac), et par conséquent, 
influe sur le résultat final.
Je me trompe ?
Après avoir relu les autres réponses, je pense avoir trouver des erreurs dans certains autres raisonnements :
Dans le texte de Caroline : "Sachant que le sac contient au moins un boule 
blanche (puisqu'on a pu en sortir une blanche au premier tirage),
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 1 boule blanche exactement est: 5/31 (d'après ce qui précède)
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 2 boules blanches exactement est: 10/31
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 3 boules blanches exactement est: 10/31
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 4 boules blanches exactement est: 5/31
la probabilité d'être en présence d'un sac qui contient 5 boules blanches exactement est: 1/31"
Il me semble que le fait de trouver 31 comme dénominateur à ces probabilité est faux : 2^5=32, or il est dit que l'on trouve ces résultats "Sachant que le sac contient au moins un boule blanche", or, le fait de savoir qu'il n'y a qu'une boule blanche a, il me semble, pour seul effet de rendre impossible le cas où il y a 4 boules blanches, ce qui signifie que les probabilités conditionnelles qui s'ensuivent vont être modifiée, mais pas que ce cas ne doit pas être tenu en compte. De plus, il me semble que si on devait tenir en compte le fait qu'il y a au moins une boule blanche, alors au lieu de considérer 2^5, ou 31, on devrait prendre 2^4, étant donné qu'on ne connaît pas avec certitude la couleur de seulement 4 boules.
A moins qu'une formule que je ne connaisse pas ai été utilisée, il me semble que l'erreur provient d'ici (si erreur il y a).

Dans le texte de Marian Marinescu, il me semble qu'une erreur vient du fait qu'elle considère qu'il y a une boule blanche (probabilité de 1), et que pour les autres, la probabilité qu'elles soient blanches est de 1/2, étant donné que la couleur a été déterminé à pile ou face, or, en poursuivant ce raisonnement, que l'on ai pioché d'abord une boule blanche, ou que l'on en 
ai tiré au cours de tirages successifs 256, la probabilité finale serait la même, ce qui ne peut évidemment pas être le cas.

De toute manière, ce problème ne peut admettre qu'une solution, donc il y a forcément des raisonnements faux parmi ceux proposé... (je continue de chercher une faille dans le raisonnement que j'avait proposé)