110 Intersection de cylindres

 

N'ayant pas un éditeur sophistiqué, j'utiliserai de façon générale la notation S[u€D]{f(u).du}, afin de désigner l'intégrale de f(u) sur le domaine D (muni évidemment d'une mesure).

Le volume V de l'intersection des 3 cylindres de même rayon R et orthogonaux entre eux, sera :
V = S[x^2+y^2=<R^2,x^2+z^2=<R^2,y^2+z^2=<R^2]{dx.dy.dz}
= S[x^2+y^2=<R^2]{(S[z^2=<R^2-x^2,z^2=<R^2-y^2]{dz})dx.dy}
= 2*S[x^2+y^2=<R^2]{min(sqr(R^2-x^2),sqr(R^2-y^2))dx.dy}
= 2*(S[x^2+y^2=<R^2,y^2=<x^2]{sqr(R^2-x^2)dx.dy}+S[x^2+y^2=<R^2,x^2=<y^2]{sqr(R^2-y^2)dx.dy})

Les deux dernières intégrales étant visiblement égales, on obtient
V = 4*S[x^2+y^2=<R^2,y^2=<x^2]{sqr(R^2-x^2)dx.dy}
= 4*S[-R =< x =< R]{sqr(R^2-x^2)*(S[y^2=<R^2-x^2,y^2=<x^2]{dy})dx}
= 8*S[-R =<x=< R]{sqr(R^2-x^2)*min(sqr(R^2-x^2),|x|)dx}
= 16*S[0 =<x=< R]{sqr(R^2-x^2)*min(sqr(R^2-x^2),x)dx}
= 16*(S[0 =< x =< R/sqr(2)]{x*sqr(R^2-x^2)dx} + S[R/sqr(2) =<x=<R]{(R^2-x^2)dx})
= 8*(2-sqr(2))*(R^3)

Voir aussi un fichier au format pdf à ce sujet par Yves Rayer : inter3cyl.pdf