109 Le banquier

 

Solution n° 1 :

Chaque billet de 10 euros est accompagné de 10 billets de 50 euros : en billets de 10 et 50, le banquier donne donc des "lots" de 510 euros. De même, chaque billet de 100 euros est accompagné de 2 billets de 500 euros : en billets de 100 et 500, le banquier donne donc des "lots" de 1.100 euros.

Comme le total est rond (15.000 euros), les lots de 510 euros (ne pouvant se combiner qu'avec des lots de 1.100 euros) doivent être donnés par 10. Donc le banquier donne des lots de 5.100 euros (chacun constitué de 10 billets de 10 euros et 100 billets de 50 euros) et des lots de 1.100 euros (chacun constitué d'1 billet de 100 et 2 billets de 500).

Pour obtenir 15.000, en additionnant des multiples de 5.100 et de 1.100, on n'a qu'une possibilité: 1 fois 5.100 et 9 fois 1.100

La (seule) solution est donc: 10 billets de 10, 100 billets de 50, 9 billets de 100 et 18 billets de 500.

Solution n° 2 :

Notons :
a = nb billets de 10
b = nb billets de 50
c = nb billets de 100
d = nb billets de 500
15000 = 10 a + 50 b + 100 c + 500 d
b = 10 a
d = 2 c
D'où
1500 = 51 a + 110 c
nécessairement a = 10 a', 150 = 51 a' + 11 c et a' = 1 et c = 9.
Réponse :
10 billets de 10
100 billets de 50
9 billets de 100
18 billets de 500

Solution n° 3 :

Puisque toutes les sommes sont divisibles par 10, on peut supposer que la somme totale est 1500, et que les valeurs des billets sont 1,5,10,50. On doit résoudre a+5*b+10*c+50*d=1500 en nombres entiers. La valeur de a est donc nécessairement un multiple de 5, posons a=5*x, on obtient x+b+2*c+10*d=300 avec b=10*a, d=2*c.
Il vient 300=51*x+22*c ce qui impose à x d'être pair, x=2*y et donne 150=51*y+11c modulo 10, il reste 0=y+c, posons alors c=10*k-y, pour obtenir 150=40*y+100*k <=> 15=4*y+11*k
Cette dernière équation n'est pas trop difficile à résoudre ...