108 A vous dégoûter des racines carrées

 

Solution n° 1 :

Posons x = 1 + sqrt(2). Alors y = 1/x = sqrt(2) - 1.
En développant avec Mr Pascal Binôme on voit que x^n + y^n est un ENTIER PAIR (*) ! (les sqr(2) de puissances impaires sont de signe opposé et s'éliminent et les autres donnent deux par deux des nombres pairs).
x^n et donc solution de X^2 - 2*N*X + 1 = 0.
Delta prime égale Bébé moins assez.
X = N +- sqrt (N^2 - 1). Or x^n > 1 donc x^n =  N + sqrt (N^2 - 1) = sqrt (N^2) + sqrt (N^2 - 1).

Solution n° 2 :

Posons Z = sqrt(2) - 1 , Z ' = sqrt(2) + 1. On a  ZZ ' = 1 donc Z^n * (Z' )^n = 1
Il est clair (par le binôme de Newton) que
Z^n = bn*sqrt(2) - an où an et bn sont des entiers.
Quelques secondes de réflexion suffisent pour se convaincre que
(Z' )^n = bn*sqrt(2) + an
On a alors Z^n * (Z' )^n = 2 bn^2 - an^2 = 1
Ainsi 2bn^2 = an^2 + 1
et
( 1 + sqrt(2) )^n  = sqrt(an^2) + sqrt(2*bn^2) = sqrt(an^2) + sqrt(an^2+1)

Solution n° 3 :

Soit n un entier naturel, posons X=(1+sqrt(2))^n
On calcule X²+1/X² et en développant, on trouve:
X²+1/X²= 2(2a+1) avec a= sum {C(2n,2(k+1))*2^k ;k=0...n-1 }
On résout alors l'équation bicarrée X²+1/X² =2(2a+1)(dont les solutions sont X,-X,1/X,-1/X );et les solutions sont u=sqrt(a+1)+sqrt(a) ;v=sqrt(a+1)-sqrt(a);-u; -v .
On identifie alors les plus grandes solutions entre elles et X=u
Donc (1+sqrt(2)^n=sqrt(a+1)+sqrt(a)  où "a" a l'expression donnée plus haut et est bien un entier naturel.