Réponse de Roger Deherder :

Voici une solution analytique au problème. Son principe est de calculer l'angle sous lequel le spectacle est observé, en fonction de la latitude, et de maximiser cet angle en calculant la dérivée par rapport à la latitude.
Pour la mise en équation, je me place dans le plan passant par le centre de Saturne, et perpendiculaire au plan des anneaux. L'axe des x est l'intersection de ce plan et du plan des anneaux. Son origine sera le centre de Saturne, et je prends comme unité le rayon de Saturne. Notons a le rayon (donc l'altitude) de l'anneau le plus intérieur, et b celui de l'anneau le plus extérieur. Sur le dessin ci-dessous, les anneaux s'étalent de A à B (distance OA = a et distance OB = b). S est situé à la surface de Saturne, et donc OS = 1.

L'inconnue est la latitude (soit l), et P est le point de la surface de Saturne situé à cette latitude l. Dès lors, les coordonnées de P sont cos(l) et sin(l). Q est le pied de la perpendiculaire à l'axe x, menée par P. La distance QA vaut donc b - cos(l), la distance QP vaut b - cos(l) et la distance PQ vaut sin(l). L'angle sous lequel on voit les anneaux est APB, que l'on trouve par différence: angle QPB - angle QPA.
Par trigonométrie, on trouve:
angle QPB = arctg( (b - cos(l)) / sin(l))
angle QPA = arctg( (a - cos(l)) / sin(l))
angle BPA = arctg( (b - cos(l)) / sin(l)) - arctg( (a - cos(l)) / sin(l))
On dérive ce dernier par rapport à l, et on annule cette dérivée. Ceci fournit une équation en l, dont la solution est la latitude optimale. Je n'ai pas le courage de reproduire le détail de ces calculs ici, mais quelques lignes conduisent à: valeur optimale de l = arccos( (a + b) / (1 + ab) )
A titre d'exemple, si le rayon intérieur des anneaux vaut 3 fois le rayon de Saturne, et le rayon extérieur 4,5 fois, la latitude optimale est de 58,85261... degrés, et on y aperçoit les anneaux sous un angle de 6,8921... degrés.

Réponse de Jacques Vernin :

Je suppose que les anneaux sont dans le plan de l'équateur entre une distance a et une b
Le plus grand angle ? C'est quoi? Si c'est l'angle solide, j'abandonne; sinon, je suis dans le plan.
Je me place dans un point (R cos(t), R sin(t)), t étant la latitude.
L'angle que je veux maximiser est celui que fait les deux vecteurs MA, MB où A=(a,0); b=(b,0)
Ensuite , c'est bestial et t est solution de l'équation (aux erreurs de calcul près):
(MA^2 x MB^2)(a+b)= (b MA^2 + a MB^2).N (*)
dans lequel
N= axb - Rxcos(t)x(a+b) + R^2
C'est , si je ne m'abuse, une équation du 4ème degré en cos(t).
Bien sûr, rien ne distingue, dans les solutions, les t pour lesquels alpha est maximum de minimum.
Géométriquement, il paraît donc évident que, si t0 est solution, les autres solutions sont 0,Pi, -t0.
Donc, si je prends comme inconnue u= cos(t), je devrais pouvoir simplifier par (u^2-1) qui correspond aux latitudes pour lesquelles l'angle est minimum (il est nul); il devrait alors me rester une équation du type:
u^2= quelque chose, ce que je ne sais pas faire.
Pire, si je fais cos(t)=1 dans (*), il ne semble pas que j'obtienne une égalité:
a^2.b^2 (a+b)= a.b.(a+b) (ab - R(a+b )+R^2), ce qui ne serait exact que si R=a+b, ce
qui est idiot.
Donc, il doit y avoir une erreur, mais je ne sais où?

Réponse de Daniel Dubuisson :

Je fais une figure en coupe dans un plan contenant l'axe de rotation de Saturne :

Saturne est représenté par le cercle S, et je suppose que l'anneau est le segment [AB] sur la droite perpendiculaire à l'axe de rotation et passant par le centre de Saturne.
Les lignes de niveau de l'angle sous lequel on voit les anneaux sont des arcs de cercle d'extrémités A et B. Si l'on suppose que, de Saturne, on voit toujours les anneaux sous un angle aigu, il s'agit de construire le cercle du faisceau à points de bases A et B, d'intersection non vide avec le cercle S, et de rayon minimum, autrement dit le cercle du faisceau tangent au cercle S.
On est donc ramené à un problème de géométrie classique : construire un cercle tangent à un cercle S donné et passant par deux points A et B donnés. Un cercle quelconque centré sur la médiatrice de [AB] coupe le cercle S en C et D. La droite CD coupe la droite AB en I. Le point M cherché est le point de contact de la tangente issue de I au cercle S.