097 Géométrie

 

Voir figure ci-dessous.

Considérons l'inversion I de centre C et de rayon R.
- le cercle Cc est invariant point à point par I
- la droite (CC') passant par C est globalement invariante par I
- le cercle Cac passant par C a pour image par I une droite. Les points A1 et A2 de Cac appartenant aussi à Cc sont leur propres images par I. Donc l'image de Cac par I est la droite (A1A2).
- De même le cercle Cbc a pour image par I la droite (B1B2)
- Le cercles Cac, Cbc et la droite (CC') ont un point commun C'. Leurs images par I (respectivement (A1A2), (B1B2) et (CC')) ont donc un point commun C", image de C' par I.

Réponse au problème annexe : Avec cette interprétation, le point C" image de C' par I est toujours défini, de même que les droite images par I de Cac et Cbc, et ce quel que soit le rayon R, même si les points intermédiaires de construction A1, A2, B1, B2 ne sont plus constructibles (ce qui est le cas dès que R > min(d(CB),d(CA)))

 

Autre réponse :

Les trois droites sont les axes radicaux des trois cercles pris deux à deux, et elles sont concourantes au centre radical de ces trois cercles. [L'axe radical de deux cercles, ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles, existe même s'ils ne sont pas sécants]. Si les centres des trois cercles sont alignés, les axes radicaux sont parallèles (strictement parallèles ou confondus).

 

Généralisation :

On peut généraliser , en considérant "n+1" surfaces-shères,S(1),..,S(n+1),dans un espace euclidien à "n" dimensions : C(k),R(k) = centre et rayon de la sphère S(k), k=1,2,..,n+1.
On note : K(i,j)= intersection entre S(i) et S(j).
Il faut |R(i)-R(j)| < dist(C(i),C(j)) < R(i)+R(j)
Soit H(i,j) l'hyperplan qui passe par K(i,j) , 1 =< i,j =< n+1
De façon analogue au cas bi-dimensionnel on montre que si les "n+1" centres, {C(1),..C(n),C{n+1)} , ne sont pas dans le même hyperplan, alors tous les hyper-plans H(i,j) sont concourants : leur intersection est "1 point".