Je prends 8 km pour unité de longueur. Initialement, les trois engins sont aux sommets d'un triangle équilatéral ABC de 14 unités de côté. Si on suppose qu'ils arrivent dans l'ordre C, B, A, l'oasis est un point M tel que MA-MB=1 et MB-MC=1.

Je choisis un repère orthonormé d'origine le milieu de [AB] et tel que les points aient pour coordonnées :
A (-7, 0) B (7, 0) C (0, 7*sqrt(3)) M (x, y)

Les deux relations s'écrivent alors :
sqrt((x+7)^2+y^2) = 1 + sqrt((x-7)^2+y^2)
sqrt(x^2+(y-7*sqrt(3))^2) = sqrt((x-7)^2+y^2) - 1

Par élévation au carré, on obtient :
2*sqrt((x-7)^2+y^2) = 28*x-1 = -14*x +14*y*sqrt(3)-97
d'où l'on déduit : y = x*sqrt(3) +48/(7*sqrt(3)) et x >=1/28

En reportant cette valeur de y dans l'équation (x-7)^2+y^2 = ((28*x-1)/2)^2, on obtient l'équation du second degré :
12544*x^2 - 896*x - 4209 = 0
qui admet -61/112 et 69/112 pour solutions.

Puisque x>=1/28, on en déduit qu'on ne peut avoir que x = 69/112, et donc y = 325*sqrt(3)/112.

Il n'existe donc qu'une possibilité pour la position de l'oasis, et on trouve ensuite que :
MA = 73/8, MB = 65/8 et MC = 57/8.

Les trois engins ont donc parcouru 73 km, 65 km et 57 km.

Remarque : il n'est pas évident de trouver un triangle équilatéral ABC de côté entier (112) et un point M tel que les trois distances MA (73), MB (65) et MC (57) soient aussi entières.

Sur la figure ci-contre, H1 est la branche d'hyperbole ensemble des points M tels que MA-MB=1, et H2 est la branche d'hyperbole ensemble des points M tels que MB-MC=1. L'intersection de H1 et H2 est l'oasis.