Réponse 1 :

Dans le triangle ABD :
BD/sin 20° = AB/sin(180°-40°) = AB/sin 40°.
Dans le triangle BEC :
BE/sin 30° = BC/sin(180°-50°) = BC/sin 50°.

Donc AB = BD * sin 40° / sin 20° = BC = BE * sin 50° / sin 30°
et BD / (sin 20° * sin 50°) = BE / (sin 30° * sin 40°)

sin 30° * sin 40° = (1/2)*(cos 10° - cos 70°) = (1/2)*(sin 80° - sin 20°) = (1/2)*2*sin 30° * cos 50° = (1/2)*sin 40° = sin 20° * cos 20°.

BD / sin 50° = BE / cos 20° = BE / sin 70° = BE /sin 110°.

Dans le triangle BED :
BD / sin BED = BE / sin BDE
sin BED * sin 110° = sin BDE * sin 50°.

On pose BED = 50° + x. Dans le triangle BED, BDE = 110° - x
sin(50° + x) * sin 110° = sin(110°-x) * sin 50°
sin x * (cos 50° * sin 110° + cos 110° * sin 50°) = 0
sin x * sin 160° = 0
sin x = 0, et donc BED = 50°, puisque BED < 180°.
BDE = 110° et ADE = 30°.

Réponse 2 :

La solution est basée sur la droite symétrique de (AD) par rapport à (AB), qui permet de construire le symétrique D'EF' du triangle DEF, F étant le point d'intersection de (EC) et (AD).
On prouve que (AD')//(CD) (angles alternes-internes), puis que les triangles D'EF' et ECD ont des côtés proportionnels ( Thalès de 3ème), et donc que DEF et EDC ont des côtés proportionnels. Leurs angles sont égaux, donc en particulier ADE = ECD = 30°.

Réponse 3 :

Je note d'abord: u = angle(ABC)/2 = 10°
On voit tout de suite que :
- Le triangle ABC est isocèle donc : (1) AB=BC= AC/(2*sin(u))
- Le triangle BEC est isocèle puisque
angle(ACE)= angle(BCA)-angle(BCE)= 50°=
180°-angle(BAC)-angle(ACE)= angle(AEC), donc: (2) AE=AC
- Le triangle ADB est isocèle puisque angle(BAD)= angle(ABC) = 20°=2*u, donc
: (3) AD=BD= AB/(2*cos(2*u))= AB/(2-4*(sin(u)^2))
On trace par le point D la parallèle à CE.
Elle coupe [BE] en un point que je note F. Il est évident que : (4) angle(BDF) = angle(BCE)= 30°
Les triangles BFD et BEC sont semblables et on peut écrire :
BF/BE = BD/BC ====> BF = BE*BD/BC = (AB-AE)*BD/BC
Tenant compte de (1),(2),(3) on obtient
(5) BF= AC*(1 - 2*sin(u))/(4*sin(u)-8*(sin(u)^3))
L'identité trigonométrique 1/2 = sin(30°)= sin(3*u) = 3*sin(u) -
4*(sin(u)^3)
entraîne (1 - 2*sin(u))/(4*sin(u)-8*(sin(u)^3))=1, et tenant compte de (5)et
(2) on a : (6) BF= AC = AE
Les triangles ADE et BDF sont égaux puisque : BF=AE,
angle(DBF)=angle(DAE)=20°, AD=BD
Il en résulte : angle(ADE) = angle(BCE) = 30°

Réponse 4 :

Je travaille uniquement dans des triangles. Les angles considérés sont en degré et compris entre 0° et 180°. J'utilise le fait que dans un triangle, le rapport du sinus d'un angle avec la longueur du côté opposé à l'angle est constante (cette relation se démontre simplement à partir de la formule des "sinus" donnant l'aire d'un triangle)
ABC = 180 - 80 - 80 = 20° = ABD
d'où BAD = ABD = 20°
=> le triangle ABD est isocèle en D et BD = DA = x

ACE = 80 - 30 = 50°
AEC = 180 - 80 - 50 = 50°
d'où AEC = ACE = 50°
=> le triangle ACE est isocèle en A et AE = AC = y

Dans le triangle ACD, ADC = 180 - 80 - (80-20) = 40°
sin(80)/x = sin(40)/y
D'où x/y = sin(80)/sin(40) = 2cos(40)
Or cos(40) = cos(60-20) = cos(20)/2 + sqrt(3)*sin(20)/2
D'où x/y = cos(20) + sqrt(3)*sin(20)

Dans le triangle AED, posons notons t l'angle ADE
sin(20)/ED = sin(t)/y

Dans le triangle BDE
BDE = 180 - t - 40 = 140 - t
BED = 180 - 20 - (140-t) = 20 + t
sin(20)/ED = sin(20+t)/x

D'où sin(20+t)/x = sin(t)/y
sin(t) =/= 0 (sinon on a une contradiction du type 0=/=0)
sin(t) =/= 1 (sinon x/y = cos(20) = cos(20) + sqrt(3)*sin(20) => sqrt(3)*sin(20) = 0 : contradiction)

D'où x/y = sin(20+t)/sin(t) = sin(20)/tan(t)+cos(20) = cos(20) + sqrt(3)*sin(20)
=> sin(20)/tan(t) = sqrt(3)*sin(20)
=> tan(t) = 1/sqrt(3) = tan(30)
=> t = 30 (mod 180)
D'où ADE = 30°