Q1) D. Pour n >= 10, n! est un multiple de 100.
Il suffit de regarder les 2 derniers chiffres de 1! + ... + 9!
1+2+6+24+20+20+40+20+80 = 13 (mod 100)

Q2) C. 243 = 3^5. Donc seuls les multiples de 3 inférieurs à 243 ne sont pas premiers avec 243. Il y en a [243/3] = 81.
Il y a donc 243-81 = 162 nombres vérifiant la condition.
Autre manière de voir, avec l'indicateur phi d'Euler : phi(243) = 243*(1-1/3) = 162

Q3) E. n+2@n+1
n =x² ou x = racine(n). Le prochain carré parfait est (x+1)² soit x²+2x+1 = n+2racine(n)+1

Q4) A. Les points ne sont pas sur une droite (abscisses 2-1=1 et 3-2=1 alors que 5-2 = 3 mais 10-5<>3). Il reste A et C. Si y = ax² : du 1er point on tire a=2 et du 2ème a=5/4 !!. C'est donc A : y=x²+1

Q5) B. Il suffit de vérifier : 3 + 3 = 6, mais 33 n'est pas divisible par 6.

Q6) B.
Si C était correcte, B le serait ainsi, et il y aurait au moins deux réponses correctes : contradiction.

Q7) B.
La première horloge est de nouveau à l'heure exacte lorsque son retard est un multiple de 12 heures, donc si un multiple de 720 jours s'est écoulé ; de même, la deuxième horloge est à l'heure si un multiple de 480 jours s'est écoulé. Les deux horloges seront simultanément à l'heure pour la première fois au bout de ppcm(720 , 480) = 1440 jours.

Q8) D.
La somme de a1 à a8 est 8*9=72. La somme de a1 à a12 vaut 11*12=132. La somme de a9 à a12 vaut 132-72=60 et la moyenne de a9 à a12 vaut 60/4=15

Q9) D. Si la circonférence augmente de 1 m, le rayon augmente de 1/(2*Pi) = 0,16 m.

Q10) B.
P est l'intersection de l'axe des abscisses avec la droite AB' , où B' est le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses. AB' a pour équation 7*x+6*y+5=0, d'où x = -5/7.

Q11) D. Avec k le nombre de pages, on résout l'équation : 9 + 180 + 3(k - 99) = 2k <=> k = 108

Q12) D. Le salaire S --> 1,02S ---> 24600 + 0,9(1,02S-24600) = 0,918S +2460. On cherche 0,918S +2460 > S
soit 0,082*S < 2460 et S < 30000

Q13) B. Soit d la distance en km parcourue par le skieur :
d/10 - d/15 = 2, d'où d = 60 km
Le skieur part à 7 h. S'il veut arriver à midi, sa vitesse devra être : 60/5 = 12 km/h.

Q14) B. On peut décomposer le mouvement en 2 :
- imaginons que le cercle roule sans glisser sur un sol plat de longueur 2*pi*4 ; dans ce cas il fait 4 tours sur lui-même
- à cela il faut ajouter le tour fait sur lui-même du fait qu'il tourne autour d'un cercle
=> 5 tours.

Q15) A.
3^100 = (3^4)^25 = 81^25
5^75 = (5^3)^25 = 125^25
7^50 = (7^2)^25 = 49^25
Puisque 49<81<125, et que la fonction x->x^25 est strictement croissante sur R, on a z<x<y.

Q16) Il manque une information : Le plus court chemin ... Voilà une supposition : A. Le chemin le plus court de la base au sommet part du milieu d'un côté. Sa longueur est racine((12/2)²+6²*2) = 6*racine(3). Compte-tenu des réponses proposées, il doit s'agir du chemin le plus court pour monter et redescendre (!!??) soit 12*racine(3)

Q17) C. En effet, A = (x + y + z)/3
La moyenne qu'il calcule est m = (x + y + 2z)/4
A - m = (x + y - 2z)/12 < 0 car x < y < z
Donc A < m.

Q18) E. Soit 2a l'angle fait par les rayons du soleil et le sol
Le bâton donne tan(2a) = 1/2
C'est le même angle pour la sphère. L'angle formé par la droite joignant le centre de la sphère à l'extrémité de l'ombre portée et le sol est égal à la moitié de cet angle soit égal à a avec tan(a) = R/10
On se souvient que tan(2a) = 2*tan(a)/(1-tan²(a)) soit 4tan(a) = 1-tan²(a) ou tan²(a) + 4tan(a) - 1 = 0
on calcule tan(a) = (2racine(5)-4)/2 = R/10 soit R = 10racine(5) - 20