J'appelle a le chiffre qui passe de droite à gauche (1<=a<=9), x le nombre à p chiffres formé par les autres chiffres d'une solution, et k le multiplicateur (k = 2, 3, 6) ; on a :
k*(10*x+a) = a*10^p+x
a*10^p = k*a + x*(10*k-1)
Donc a*10^p est congru à k*a modulo 10*k-1.
Si a est inversible modulo 10*k-1, ceci est équivalent à 10^p congru à k modulo 10*k-1.
Or 10*k-1=19, 29 ou 59 est premier, donc tout est inversible modulo 10*k-1 sauf 0, cas exclu.

On cherche donc le plus petit entier naturel p tel que :
10^p congru à k modulo 10*k-1
et on a ensuite x = a * (10^p - k) / (10*k-1)
A priori, tout a convient, donc la plus petite solution serait obtenue pour a = 1 ; mais il arrive que x (qui a p chiffres) commence par 0, ce qui ne fait pas beau, et on cherche le plus petit a tel que x ne commence pas par 0.

k = 2
10*k-1 = 19 ; p = 17 ; x = 5263157894736842*a ;
Il faut prendre au minimum a=2 pour que la solution ne commence pas par zéro :
105263157894736842 (18 chiffres)

k = 3
10*k-1 = 29 ; p = 27 ; x = 34482758620689655172413793*a
Il faut prendre au minimum a = 3 :
1034482758620689655172413793 (28 chiffres)

k = 6
10*k-1 = 59 ; p = 57 ; x = 16949152542372881355932203389830508474576271186440677966*a
Il faut prendre au minimum a = 6 :
1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966 (58 chiffres)