A frappe un coup toutes les 7/12 de minute et B toutes les 9/17 de minute. Il est naturel de prendre comme unité de temps 1/ppcm(12,17) = 1/204 minute. A frappe un coup toutes les 119 unités de temps, et B toutes les 108 unités de temps. La coïncidence parfaite a lieu pour la première fois au bout de ppcm(108,119) = 12852 unités de temps, soit 63 minutes, donc au-delà de la demi-heure.

L'écart entre deux coups étant un nombre entier d'unités de temps, on cherche dans un premier temps si l'on peut trouver un écart d'une unité de temps dans un sens ou dans l'autre. On est donc amené à résoudre :
119*a-108*b=1 (E1)
119*a-108*b=-1 (E2)
où les entiers naturels a et b sont les nombres de coups frappés par A et B (sauf le premier).

La plus petite solution de (E1) en entiers naturels est (a,b) = (59,65), ce qui donne 7021 et 7020 unités de temps, soit plus de 34 min, en dehors de la demi-heure. La plus petite solution de (E2) en entiers naturels est (a,b) = (49,54), ce qui donne 5831 et 5832 unités, donc entre 28 et 29 min, ce qui convient.

Conclusion : si l'on compte le coup de départ (le numéro zéro), A frappera son 50ème coup 1/204 de minute avant le 55ème coup de B, et on ne peut trouver de meilleure coïncidence dans la première demi-heure.

Voir aussi : http://www.gilles-jobin.org/maths/problemesolution1.htm