089 Fraction

 

Je pose f(x)=1+1/x.
L'équation proposée s'écrit f(n)(x)=x, avec f(n) = f o f o ... o f ( composée de n fonctions f ), où n est un entier naturel non nul qui n'a pas d'importance comme on va le voir.
L'équation f(x)=x admet deux solutions : (1-sqrt(5))/2 et (1+sqrt(5))/2. Donc l'équation f(n)(x)=x admet au moins ces deux solutions là.
Mais il est facile de voir que, pour tout n, f(n) est une fonction homographique : f(n)(x)=(a*x+b)/(c*x+d). Pour le démontrer rigoureusement, je ne vois rien d'autre qu'une récurrence qui n'est pas au programme de Première. Donc l'équation f(n)(x)=x est du second degré, elle ne peut admettre plus de deux solutions, elle n'admet donc que les deux solutions ci-dessus.

Complément (pas nécessaire pour la résolution de l'exercice) :
On définit une suite de Fibonacci par u(0)=0, u(1)=1 et, pour tout entier naturel n, u(n+2)=u(n+1)+u(n).
Alors on montre par récurrence que :
f(n)(x)=(x*u(n+1)+u(n))/(x*u(n)+u(n-1))
et l'équation f(n)(x)=x s'écrit :
(x^2)*u(n)+x*(u(n-1)-u(n+1))-u(n)=0, et après simplification par u(n),
x^2-x-1, ou f(x)=x. Ce qui confirme et précise ma réponse précédente.