Je cherche un polynôme P de degré 3 : P(x) = a*x^3+b*x^2+c*x+d tel que, pour tout entier i, i^3/2^i = P(i+1)/2^(i+1) - P(i)/2^i.

On trouve qu'il faut résoudre le système : { -a=2,-b+3*a=0,2*b+3*a-c=0,c-d+b+a=0 } et qu'il a une solution unique : {a = -2, b = -6, c = -18, d = -26} donc un unique polynôme : P(x) = -2*x^3 - 6*x^2 - 18*x -26.

Ensuite, par "télescopie", on a : somme (i^3/2^i , i=1..n) = P(n+1)/2^(n+1) - P(1)/2 et puisque limite (P(n+1)/2^(n+1), n = infini) = 0, on a somme (i^3/2^i , i=1..infini) = -P(1)/2 = 26.

Voici une généralisation simple de ce résultat.

Je pose S(n, p) = somme(k=1; p; u(n, k)) où u(n, k) = k^n / 2^k.

On a :
u(n, k+1) = (k+1)^n / 2^(k+1)
u(n, k+1) = somme(i=0; n; comb(n, i)*k^i) / 2^(k+1)
u(n, k+1) = somme(i=0; n; comb(n, i)*u(i, k))/2

Pour n>=1 :
u(n, k+1) = u(n, k)/2 + somme(i=0; n-1; comb(n, i)*u(i, k))/2

En sommant cette expression pour k variant de 1 à p, il vient :
S(n, p) + u(n, p+1) - u(n, 1) = S(n, p)/2 + somme(i=0; n-1; comb(n, i)*S(i, p))/2
S(n, p) = somme(i=0; n-1; comb(n, i)*S(i, p)) + 2(u(n, 1) - u(n, p+1))
S(n, p) = 1 + somme(i=0; n-1; comb(n, i)*S(i, p)) - (p+1)^n / 2^p

Pour n=0, on revient à la définition :
S(0, p) = somme(k=1; p; 1/2^k) (somme d'une suite géométrique)
S(0, p) = 1 - 1/2^p
lim p-> +oo S(0, p) = S(0, oo) = 1

Pour n fixé, lim p-> +oo (p+1)^n / 2^p = 0
Par récurrence sur n, on obtient donc que pour n>=1 :
S(n, oo) = 1 + somme(i=0; n-1; comb(n, i)*S(i, oo))

On peut donc calculer les termes de proche en proche :
S(1, oo) = 2
S(2, oo) = 6
S(3, oo) = 26
S(4, oo) = 150