Réponse 1 :

Le lieu géométrique de G quand I,J et K décrivent les côtés du triangle ABC est l'hexagone TUVWXY.
Dans le repère (A,AB,AC), si I(x;0), J(y;1-y) et K(0;z) avec 0<=x<=1, 0<=y<=1, 0<=z<=1 on obtient :
xG = x/3 + y/3 donc xG <= 2/3
yG = (1 - y + z)/3 donc yG <= 2/3
et ainsi de suite ...

Remarque : au lieu de faire le raisonnement sur les 3 sommets, on peut le faire sur un seul en remarquant aussi que xG + yG = 1/3 ( x + y + 1 ) en utilisant les notations de la première réponse. Alors xG + yG >=1/3, ce qui signifie que G est au-dessus de TY ( voir figure ). Avec les autres résultats : xG <= 2/3 et yG <= 2/3, on obtient tout de suite l' hexagone.

Réponse 2 :

Appelons A' le point de [AB] situé au tiers de la distance entre A et B du côté de A. Ce point appartient au lieu voulu (I et K en A, J en B). En généralisant, on peut découper les 3 côtés de ABC en trois parties égales en plaçant au total 6 points dont on est sûr qu'ils appartiennent au lieu voulu. Le théorème d'associativité du barycentre nous permet d'affirmer que le lieu cherché est convexe. Le lieu contient donc au minimum l'enveloppe convexe de l'ensemble des 6 points cités ci-dessus, c'est à dire l'intérieur de l'hexagone non croisé que l'on peut former avec ces six points (hexagone compris).
D'autre part, si on se place dans le repère (A,AB,AC), on a I=bar((A,t),(B,1-t)) où t appartient à [0;1] donc I(t,0) et de même avec deux autres variables : K(0,u) et J (v,1-v). Si G est le centre de gravité de IJK alors : xG=1/3*(t+v) et yG=1/3*(1+u-v)
Vues les restrictions sur t,u et v, nécessairement xG et yG appartiennent à [0;2/3].
En faisant ce raisonnement dans deux autres repères d'origines B et C, on conclut que le lieu cherché est au maximum "limité" par l'hexagone défini plus haut.
Par conséquent, le lieu cherché est exactement l'hexagone et son intérieur.

Remarque : La réciproque n'est pas prouvée avec ces deux raisonnements : on a montré que G est nécessairement dans l'hexagone, mais pas que tout point de l'hexagone est un isobarycentre d' un triplet ( I, J,K ).