1 ) Le nombre d'oeufs par poule et par jour est donc 8/(8*8)=1/8. En 4 jours avec 4 poules, on a donc : 4*4*1/8=2 oeufs.

2 ) Il fait jour !...

3 ) Plutôt que de donner la solution, je donne des étapes, qui ne seront sans doute pas inutiles.
1. (facile) On suppose que 3*n^2+3*n+7=p^3, avec p entier. On en déduit que p est impair, et on pose donc p=2*q+1. On arrive alors à :3*(n^2+n+2)=2*q*(4*q^2+6*q+3)

2. (plus difficile) On suppose que 3 ne divise pas q, et on arrive à la contradiction : 3 divise q donc 3 divise q. On pose q=3*r et l'égalité devient n^2+n+2=6*r*(12*r^2+6*r+1)

3. (facile) Il reste à montrer que n^2+n+2 ne peut pas être un multiple de 6. Puisque c'est un multiple de 2, il faut montrer que ce n'est pas un multiple de 3. Pour cela, on examine les trois cas de n modulo 3, et (ouf) on aboutit à une contradiction.

Pour ceux qui n' arrivent pas à compléter la démonstration de Daniel Dubuisson, elle se trouve dans "Des Olympiades à l'agrégation" de M. Protat chez Ellipses. Voici un lien vers un scan de cette page ( 139 K ).

4 ) On note r et R les rayons intérieur et extérieur ( en cm ).
On a : 4/3*PI*R^3 - 4/3*PI*r^3 = 72000 / 8 avec R = r + 6
Donc (r+6)^3 - r^3 = 6750/PI.
Après simplification, r est solution de l'équation du second degré : 3r^2 + 18r + ( 36 - 1125/PI ) = 0
La solution positive est - 3 + sqr ( 3 ( 125/PI - 1 ) ), ce qui donne les valeurs approchées r  = 7,787 cm et R = 13,787 cm.

5 ) Deux solutions : L'enfant peut avoir trois billes : une rouge, une verte, une bleue. Il peut aussi, s'il est vraiment vicieux, avoir deux billes d'une troisième couleur (jaune, par exemple).

6 ) La mère du blessé.

7 ) Lorsqu'il part, un bateau arrive (vient d'arriver que l'on ne compte pas)
Dans l'autre sens, il y a un bateau qui part, et 6 bateaux en mer qui ont de 1 à 6 jours de mer.
Les jours J+1 à J+6, un bateau démarre également à l'autre bout.
Tous ces bateaux seront croisés, donc 1+6+6 = 13
Enfin le dernier jours, il entre dans le port alors que démarre (vient de démarrer) un bateau dans l'autre sens.
Donc 13 croisements strictement en mer, et deux dans les ports.

8 ) a ) Je remarque que (x^2+x/2)^2= x^4+x^3+x^2/4= y^2-(1+x+3x^2/4)<y^2  ( car 1+x+3x^2/4 est toujours positif) (discriminant négatif) et que (x^2+x/2+1)^2= y^2+5x2/4>y2. On a donc bien l'encadrement cherché. Et il est strict.
b)  si x est pair, alors 0 < |y| - x² - x/2 < 1 qui conduit à une contradiction puisque |y| - x² - x/2 est entier
donc x est impair et nécessairement |y| = x² + x/2 + 1/2
D'où x^4 + x^3 + x² + x + 1 = (x² + x/2 + 1/2)² = x^4 + x^3 + (5/4)x² + x/2 + 1/4
<=> x/2 + 3/4 = x²/4
<=> x² - 2x - 3 = 0
<=> x = -1 ou 3
Les solutions sont donc (-1; 1) et (3; 11)