1ère méthode

En douze heures, il y a 2*11 instants durant lesquels les aiguilles des heures et des minutes se superposent :
1h5m27,27s
2h10m54,54s
3h16m21,21s
4h21m49,49s
5h27m16,16s
6h32m43,43
7h38m10,90s
8h43m38,18s
9h49m05,45s
10h54m32,72s
12h00m0s

Parmi ces instants, un seul (en fait deux avec 12h00 de plus) correspond aux conditions de l'énoncé, c'est 9h49m05,45s qui se passe moins d'une demi seconde après le passage de la trotteuse sur le 1. La première heure est donc 9h49m05s ou 21h49m05s.

Il y a de même 2 * 11 instants durant lesquels les aiguilles sont en oppositions :
0h32m43,43
1h38m10,90s
2h43m38,18s
3h49m05,45s
4h54m32,72s
6h00m0s
7h5m27,27s
8h10m54,54s
9h16m21,21s
10h21m49,49s
11h27m16,16s

Le seul possible se situant moins d'une demi seconde avant le passage de la trotteuse sur un chiffre est 8h10m54,54 (l'aiguille passe le 11 moins d'une
demi seconde après ..). La seconde heure est donc 8h10m55s ou 20h10m55s.

Pour que cela se passe dans la même journée, il s'agit donc de 9h49m05s et 20h10m55s. L'énigme a donc résisté 10h21m50s.

2ème méthode

Je choisis le tour pour unité d'angle et l'heure pour unité de temps. La vitesse de l'aiguille des heures est 1/12, et celle de l'aiguille des minutes est 1, en tours par heure. Je choisis l'origine des angles à la graduation 12, et l'origine des temps à minuit (ou à midi). L'équation du mouvement de l'aiguille des heures s'écrit
h=1/12*t, et celle de l'aiguille des minutes m=t.

La coïncidence des deux aiguilles se traduit par l'équation : t = 1/12*t + n, où l'entier relatif n représente un nombre entier de tours. On trouve t =12*n/11. Pour n=1..10, on cherche t de façon que, traduit en sexagésimal, le nombre de secondes soit un multiple de 5 plus T, avec T compris entre 0 strictement et 1/2. On trouve uniquement n=9, et t=108/11 = 9 h 49 min 5 s et 5/11 de seconde. Le message a donc été posté soit à 9 h 49 min 5 s, soit à 21 h 49 min 5 s.

De même, l'opposition des aiguilles se traduit par l'équation : t = 1/12*t + 1/2 + n, avec n entier relatif. D'où t=(6+12*n)/11.
Pour n=0..10, on cherche t de façon que le nombre de secondes soit un multiple de 5, MOINS T compris entre 0 strictement et 1/2. On trouve n=7 et n=90/11 = 8 h 10 min 54 s et 6/11 de seconde. La réponse a donc été postée à 8 h 10 min 55 s ou 20 h 10 min 55 s.

Si l'on admet que, dans notre espace-temps, la question est postée avant la réponse (et il suffit de consulter les news sur internet pour constater que ce n'est pas toujours vérifié :), la question a été posée à 9 h 49 min 5 s, et la réponse à 20 h 10 min 55 s. L'énigme a duré 10 h 21 min 50 s.