075 Multiplication permutante

 

Le nombre à trouver était: 142857

- Le nombre X commence forcément par 1 pour que la multiplication par 5 et par 6 n'ait pas plus de 6 chiffres.
- Seule la multiplication par 3 peut avoir le chiffre 1 aux unités.
- Le chiffre des unité de X est donc nécessairement 7 ce qui nous donne tous les chiffres de X: 7-4-1-8-5 et 2
- Si on faisait la somme des 6 résultats on obtiendrait: X+2X+3X+4X+5X+6X=21X
- Par ailleurs on sait que chaque chiffre se trouve tour à tour aux unités, aux dizaine, aux centaines etc... on peut donc écrire:
21X= 111111 + 222222 + 444444 + 555555 + 777777 + 888888
et donc X = 2999997 / 21 = 142857

142857 est la période du développement décimal périodique du rationnel 1/7 : 1/7 = 0,142857 142857 ...
Comme on a 10^6 / 7 = 142857, 142857 142857 ...
il vient p99999/7 = 142857

Un bonus : 142857² = 20408 122449 et devinez combien fait 20408 + 122449 ?