Comme l'énoncé n'est pas précis, nous allons distinguer deux cas.

1er cas : le nombre de bulletins A sortis de l'urne est toujours supérieur ou ÉGAL au nombre de bulletins B.

On fait un graphique de la manière suivante : on porte en abscisse le nombre de bulletins sortis de l'urne, et en ordonnée la différence entre le nombre de bulletins A et de bulletins B. Un résultat du dépouillement est donc une ligne brisée qui part du point (0, 0) pour aboutir au point (2001, 1). On passe d'un point d'abscisse x au point d'abscisse x+1 par une montée si on tire un bulletin A, par une descente si on tire un bulletin B. Le nombre d'événements élémentaires est le nombre de permutations de 1001 montées et de 1000 descentes, et est donc égal à 2001! / (1001! * 1000!).

Pour dénombrer les cas favorables, on dénombre les autres. Les cas défavorables sont les lignes brisées qui touchent au moins une fois la droite d'équation y= -1. On trace une trajectoire fictive confondue avec la trajectoire défavorable depuis le point (0,0) jusqu'au premier point d'ordonnée -1, puis ensuite symétrique de cette trajectoire par rapport à la droite d'équation y = -1. La trajectoire fictive aboutit donc au point (2001,-3). Il y a une bijection entre les trajectoires défavorables et ces trajectoires fictives. Une trajectoire fictive est constituée de 999 montées et 1002 descentes. Le nombre de cas défavorables est donc 2001! / (999! * 1002!). La probabilité de l'événement contraire de "A est toujours en tête" est : (1000! * 1001!) / (999! * 1002!) = 1000 / 1002.

Donc la probabilité de l'événement "A est toujours en tête" est : 1 - 1000 / 1002 = 2 / 1002 = 1 / 501.

2ème cas : le nombre de bulletins A est STRICTEMENT supérieur au nombre de bulletins B. ( sauf bien sûr au départ, au point (0,0) )

En mettant à part le premier tirage : soit on tire un bulletin B, avec la probabilité 1000/2001, et on n'obtiendra que des trajectoires défavorables ; soit on tire un bulletin A, avec la probabilité 1001/2001, et on obtiendra certaines trajectoires favorables et d'autres défavorables. Je m'intéresse donc aux trajectoires entre le point (1,1) et le point (2001,1) : il y a 1000 montées et 1000 descentes, donc le nombre total de trajectoires est 2000! / (1000! * 1000!).
De la même manière que précédemment, les trajectoires défavorables sont celles qui touchent au moins une fois la droite d'équation y=0. On les remplace par des trajectoires fictives qui aboutissent au point (2001,-1), donc 999 montées et 1001 descentes, et le nombre de trajectoires défavorables est 2000! / (999! * 1001!). La probabilité d'un trajet défavorable est donc : (1000! * 1000!) / (1001! * 999!) = 1000 / 1001. La probabilité d'un trajet favorable entre le point (1,1) et le point (2001,1) est donc 1 / 1001.

En tenant compte du premier tirage, la probabilité que le candidat soit toujours strictement en avance sur le candidat B est : (1001 / 2001) * (1 / 1001) = 1 / 2001.