072 L' hôtel infini

 

1) Chaque client de la chambre n déménage dans la chambre n+1. Le voyageur de commerce prend la N°1 ainsi libérée.

2) Chaque client de la chambre n passe dans la chambre 2n. Les numéros impairs en nombre infini peuvent accueillir alors les passagers du car de touristes.

3) Même sachant que infini*infini = infini, cela ne donne pas pour autant un numéro de chambre défini pour chaque passager p de chaque car c.
(On conviendra que pour les actuels occupants de l'hôtel: c=1) Une astuce possible est d'attribuer la chambre n=((p+c+1)(p+c+2)/2)+c
à chacun. Ce schémas vous éclairera sur le résultat de la manœuvre:

\p| 01 02 03 04 05
c\|---------------------
01| 01 03 06 10 15 etc...
02| 02 05 09 14
03| 04 08 13
04| 07 12
05| 11
En continuant sur les diagonales, on couvre l'ensemble des voyageurs.

4) On peut reprendre le calcul de n pour numéroter les nouveaux venus d'un jour j en utilisant la même formule: M=((n+j+1)(n+j+2)/2)+j.
Mais si on préfère, on peut appliquer directement cette délicieuse équation:
((2j+2p+(c+p-1)(c+p-2)-2)*(2j+2p+(c+p-1)(c+p-2)-4)/8)+((c+p-1)(c+p-2)/2)+p
(si je ne m'abuse !) pour obtenir l'équivalent du schémas ci-dessus, mais en 3D.