067 Des bases solides

 

Premier cas : b = a + 1, et b < x
On veut réaliser : a + a*x + a*x^2 + a*x^3 = ( (a+1) + (a+1)*x )^2
ou encore : a*(1+x)*(1+x^2)=(a+1)^2*(1+x)^2
et, puisque x>0, a*(1+x^2)=(a+1)^2*(1+x).
a divise (a+1)^2*(1+x) ; a est premier avec a+1, donc avec (a+1)^2 ; d'après le théorème de Gauss, a divise x+1.

On a donc x+1=k*a, avec k entier naturel.
On en déduit que a*(1+(k*a-1)^2)=(a+1)^2*k*a
et, puisque a<>0, k*((a+1)^2-k*a^2+2*a)=2
donc k divise 2, et k=1 ou 2. Mais on ne peut avoir k=1, et donc x+1=a, puisque a<b<x, donc k=2.

On a donc x+1=2*a, ce qui entraîne
1+(2*a-1)^2=2*(a+1)^2, puis 2a^2-8*a=0, et a=4, puis b=5 et x=7. On vérifie que, en base 7, on a bien 4444 = (55)^2

Deuxième cas : b = a - 1 , et a < x
Les calculs sont analogues. On trouve encore que k=2. Mais on aboutit à a=0, donc pas de solution.

Donc la seule solution est celle trouvée en base 7 : 4444 = (55)^2.