066 4 poids, 40 mesures

 

La solution est : 1; 3 ; 9 et 27.

Soit un entier écrit en base trois : an an-1 ... a2 a1 a0, où les ai sont égaux à 0, 1 ou 2.
On parcourt cet entier de droite à gauche : à chaque fois que l'on rencontre le chiffre 2, on le remplace par -1 :
S'il s'agit de ap, on a donc creusé un déficit de 3*3^p = 3^(p+1) que l'on bouche en augmentant d'une unité le chiffre immédiatement à gauche. Si ce chiffre devient ainsi égal à 3, on le remplace par 0, et on augmente d'une unité le chiffre à sa gauche. Ceci peut se propager jusqu'au bord gauche du nombre, et nécessiter un chiffre supplémentaire. On peut ainsi écrire tout entier en base "quasi-trois", dans laquelle les chiffres sont -1, 0 ou 1. On met les poids affectés du coefficient -1 dans le plateau qui contient la masse à peser, les poids affectés du coefficient 1 dans l'autre plateau. Avec les poids 1, 3, 3^2, ..., 3^n, on peut ainsi peser tous les poids de 1 à (3^(n+1)-1)/2.
Exemples : 14 = -1-3-9+27, 32 = -1-3+9+27, 40 = 1+3+9+27.