1ère réponse

Le rayon terrestre valant environ 6400km, la distance New-York Paris vaut 5800/6400. Or, sur un cercle de rayon unité, un petit arc de longueur x s'éloigne de sa corde d'une distance maximum égale à x^2/8. Or x = 5800/6400 = 0.90625 rayon terrestre. Donc, puisque Terre Neuve se trouve au milieu de New-York et Paris, c'est à cet endroit que le tunnel s'éloigne au maximum. C'est à dire 0.9065^2/8 = 0.1026611 rayon terrestre, soit 6400 x 0.1026611 = 657,03125 km.

2ème réponse

arc(AB)=R*2*angle(AOI) et AB=2*R*sin(AOI) donc AB=2*R*sin(arc(AB)/(2*R)). On trouve AB=5601.5 km ; donc la longueur de l'arc n'est supérieure que de 3,5 % à la longueur de la corde : les bénéfices du consortium risquent de ne pas être ceux escomptés... 

Dans le triangle AIJ rectangle en A, AH est une hauteur, donc AH² = HI*HJ, soit, en posant AB=c et IH=f 
c²/4=f*(2*R-f) f est donc solution de l'équation du second degré : 4*f² - 8*R*f + c² = 0 qui admet une solution inférieure à R (HI sur la figure) et une supérieure à R (HJ sur la figure) donc la flèche est f = R - (1/2) * sqrt(4*R²-c²) on trouve f = 649 km.

Complément :  Si j'ai bien compris, le train fonctionnerait comme un pendule : vitesse nulle au départ, vitesse maximale au point le plus bas, au milieu du tunnel, et vitesse nulle à l'arrivée. Bien entendu, un subtil dispositif faisant appel à la supraconductivité supprime les frottements... Dans ce cas, mes souvenirs de physique me permettent de calculer la vitesse maximale, l'énergie potentielle du départ est convertie en énergie cinétique au point le plus bas, donc m*g*h = (1/2)*m*v² (en négligeant la variation de g) soit v = sqrt (2*g*h) = sqrt (2* 9.81 * 649000) = 3568 m/s soit environ mach 10.5 au point le plus bas ! ça décoiffe ! 

3ème réponse

Calcul de l'angle: 40000/360 =  5800/x, d'où x = 52,2 ° et 1/2 x = 26,1 ° 
Calcul de la longueur du tunnel : 1/2 Lt = Rayon Terre X sin(26,1°) = 6400 X sin (26,1°) = 2815 et Lt = 5632 Km 
Calcul de la distance entre le centre de la Terre et le tunnel : D^2 = 6400^2 -2815^2 et D = 5747 Km 
Profondeur du tunnel = 6400 - 5747 = 653 Km.