064 Lancer de dés

 

Pour obtenir les 6 faces d'un dé cubique : 14,7 lancers en moyenne.

2 méthodes : un calcul d'espérance assez fastidieux, ou le raisonnement suivant :

En 1 lancer,1 face en moyenne ; au deuxième lancer , 5/6 de nouvelle face en moyenne , donc il faut 6/5 lancer pour obtenir une deuxième face.
Au troisième lancer : 4/6 de nouvelle face , donc il faut 6/4 lancer pour obtenir une troisième face!
Au total, pour obtenir 6 faces : 6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 147/10 = 14,7 lancers.

C'est le problème du "collectionneur" qui se formulait ainsi autrefois :

Une marque de chocolat offre une vignette avec chaque tablette. La collection complète comporte n vignettes différentes. Combien, en moyenne, faut-il acheter de tablettes pour avoir la collection complète ?

On suppose donc qu'il y a équiprobabilité entre les vignettes : dans chaque tablette, on a la probabilité 1/n de trouver chaque vignette. L'espérance de la variable aléatoire "nombre de tablettes nécessaires pour obtenir r vignettes (1 <= r <= n) est : somme(n/(n-k), k=0..r-1).
En particulier, on obtient les n vignettes en moyenne avec n*somme(1/i, i=1..n).
Avec un dé à 6 "vignettes", on obtient les valeurs moyennes suivantes pour que r faces apparaissent :
1 1
2 2.2
3 3.7
4 5.7
5 8.7
6 14.7
Si le nombre n de vignettes tend vers plus l'infini, le nombre moyen de tablettes à acheter pour obtenir les n vignettes est équivalent à n ln n.