La solution fait appel aux congruences modulo 9:
la somme des chiffres d'un nombre écrit en base 10 est congrue à ce nombre modulo 9
4444 congru à -2 mod 9
4444^3 congru à 1 mod 9
donc 4444^4444 congru à (-2)^(3*1361+1) congru à -2
d'où somme chiffres 4444^4444 congru à 7 mod 9, de même que la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 4444^4444.
Par encadrement on montre que 4444^4444 < 10000^5000 donc ce nombre a au plus 20000 chiffres, sa somme vaut au plus 20000*9=180000, donc a au plus 6 chiffres, sa somme vaut au plus 6*9=54, donc sa somme < 5+9, c'est à dire strictement inférieure à 14. Comme cette somme est congrue à 7 mod 9, elle vaut exactement 7.