L'idée est sans doute venue à l'auteur de cette question en résolvant, à l'aide des formules de Cardan, l'équation à laquelle j'ai abouti :
x^3 + 15*x -16 =0.
En effet, dans la méthode de Cardan, on cherche des complexes a et b tels que :
x^3 + 15*x -16 = (x-(a+b)) * (x -(aj+bj^2)) * (x-(aj^2+bj))
donc tels que 15=-3*a*b et -16=-(a^3+b^3)
ce qui implique que a^3+b^3=16 et a^3*b^3=-125.
donc a^3 et b^3 sont solutions de l'équation :
X^2 - 16*X - 125 =0
qui admet pour racines 8 - 3*sqrt(21) et 8 + 3*sqrt(21) ...
Il faut ensuite apparier une racine cubique complexe de 8 - 3*sqrt(21) avec une racine cubique complexe de 8 + 3*sqrt(21) de façon que leur produit soit égal à -5.
C'est en particulier réalisé si on prend les racines cubiques réelles, et on aboutit ainsi à la formule donnée, qui fournit la solution, évidente par ailleurs : 1.