Admettons pour l'instant que rac(2) est irrationnel;
Si rac(2)^rac(2) est rationnel, c'est gagné avec x=rac(2) et y=rac(2).
Si rac(2)^rac(2), c'est également gagné avec x = Rac(2) ^ Rac(2) et y = Rac(2)
car x^y = rac(2)^(rac(2) * rac(2)) = rac(2)² = 2

Reste à montrer que rac(2) est irrationnel. La preuve la plus célèbre est la suivante.
Supposons que rac(2) soit rationnel.
On a donc rac(2) = p / q avec p et q premiers entre eux.
En élevant cette égalité au carré, on obtient
2 = p² / q² ou encore p² = 2 q²
On en déduit que p² est pair et donc que p est pair.
Ainsi p = 2p'
et 2q²= (2p')² = 4p'²
d'où q² = 2 p'²
et q est pair.
Ceci étant contradictoire avec l'hypothèse que p et q sont premiers entre eux, on en déduit que rac(2) est irrationnel.