015 Echelles

 

On note :
BF l'échelle rouge ( B en haut ) , EA l'échelle bleue ( A en haut ), I le point d'intersection des deux échelles, H la projection orthogonale de I sur le sol.

AF = x ; EF = y ; BE = z ;
AE = 3 ; BF = 2 ; IH = 1 ;

Dans FAE : x² + y² = 9 , dans FEB : y² + z² = 4.

On en déduit : x² - z² = 5 (1)

Thalès avec les parallèles (BE), (IH) et (AF) :
1/x + 1/z = EH/EF + HF/EF = (EH + HF)/EF = 1, d'où 1/z = (x-1)/x et z = x/(x-1)

Avec (1) , on a : x² - (x/(x-1))² = 5

ce qui conduit à x^4 - 2x^3 - 5x^2 +10x - 5 = 0

De manière approchée avec un outil de calcul, la seule solution acceptable à 10-3 près est x = 2,736 puis y = 1,231.

En s'aidant de MAPLE par exemple, on trouve que cette équation admet deux solutions complexes conjuguées, une solution réelle négative, et une solution réelle positive, la seule qui nous intéresse, environ 2,736. La valeur exacte de cette dernière n'est vraiment pas simple.