013 Le facteur et la concierge
Pour le premier problème du facteur :
Le produit des 3 âges est 36, on peut donc avoir :
(36,1,1) , (18,2,1) , (12,3,1) , (9,4,1) , (9,2,2) ,
(6,6,1) , (6,3,2) , (4,3,3)
Les sommes sont respectivement 38, 21, 16, 14, 13, 13,
11, 10
Puisque la donnée de la somme ne suffit pas au
facteur, c'est que cette somme est 13. Il y a deux
possibilités : (9,2,2) ou (6,6,1). Mais puisqu'il y a
une aînée, on retient la solution (9,2,2).
Les âges des trois filles sont donc 9 ans, 2 ans, et
2 ans.
Pour le second problème de la concierge :
*** Première proposition ( a priori fausse d'après
l'auteur du problème. Où est l'erreur ? ):
Les âges sont 1 et 8 ans.
Si les âges sont 1 et 8, P a sur son papier 8 et S a
9.
P: Je ne peux rien dire. ( En effet, les filles peuvent
avoir 1 et 8 ou 2 et 4)
S : Moi non plus, mais je savais que vous ne pouviez
rien dire. (En effet, vous ne pourriez être catégorique
que s'il y avait un nombre premier n sur votre papier. Or
si tel était le cas, les âges seraient 1 et n et
j'aurais sur mon papier la valeur n+1 et donc n serait égal
à 8. Mais 8 n'est pas premier.
P : Ah, alors, je connais l'âge des deux filles. ( En
effet, si vous aviez six sur votre papier, j'aurais pu
avoir la valeur
5(5*1) et j'aurais alors su l'âge des deux filles. Comme
vous saviez que je ne pourrais rien dire, vous avez la
valeur 9 sur votre papier et les ages des filles sont 1
an et huit ans.)
S : Alors moi aussi! (Les valeurs possibles sont 1 et
8, 2 et 7, 3 et 6 ou 5 et 4.
Si vous aviez 14 sur votre papier, les possibilités pour
vous seraient 1 et 14 ou 2 et 7. Vous n'auriez pas pu
trancher entre les deux.
Si vous aviez 18 sur votre papier, les possibilités pour
vous seraient 1 et 18, 2 et 9 ou 3 et 6. Vous n'auriez
pas pu trancher entre les trois.
Si vous aviez 20, les possibilités seraient 2 et 10,1 et
20 ou 4 et 5. Vous n'auriez pas pu trancher entre les
deux derniers.
Donc vous avez 8 et vous avez compris que je ne pouvais
pas avoir 6 sur mon papier.)
*** Deuxième proposition :
Les sommes possibles sont
11;17;23;27;29;33;35;37;etc....
C'est à dire toutes les sommes qui ne peuvent s'écrire
sous la forme p + p' où p et p' sont premiers. Car sinon
S ne peut affirmer que P ne trouvera pas. Pour S=11, P=18
ou 24 ou 28 ou 30. Pour S=17,P=30 ou 42 ou 52 ou 60 ou 66
ou 70 ou 72.
P=30 est impossible car le joueur P est toujours dans
le brouillard (S=11 ou S=17), P=42 est impossible car le
joueur P est toujours dans le brouillard (S=23 ou S=17),
P=60 est impossible car le joueur P est toujours dans le
brouillard (S=23 ou S=17), P=66 est impossible car le
joueur P est toujours dans le brouillard (S=35 ou S=17),
P=70 est impossible car le joueur P est toujours dans le
brouillard (S=37ou S=17), P=72 est impossible car le
joueur P est toujours dans le brouillard (S=27 ou S=17).
Moralité : Le cas sympathique qui apparaît c'est S =17
et P=52 car P peut effectivement dire qu'il connaît les
ages car il sait que S=17 et S s'il trouve cela veut dire
que S n'est pas égale à 11 car sinon il reste dans le
brouillard
4 ans et 13 ans. Il reste à montrer que les valeurs de P
>52 laissent toujours P dans le brouillard
*** Troisième proposition :
J'ai proposé 4 et 13... P a donc 52 et S a 17
P: Je ne peux rien dire;
En effet, 52 = 2 x 26 = 4 x 13
P sait cependant que S a 17 ou 28 sur son papier
S: Moi non plus, mais je savais que vous ne pouviez rien
dire
S a 17 ; les décompositions possibles de 17 en somme de 2
entiers sont :
cas 1 :17 = 2 + 15 --> P aurait 30 et ne pourrait pas
choisir entre 2x15, 3x10 et 5x6.
cas 2 :17 = 3 + 14 --> P aurait 42 et ne pourrait pas
choisir entre 2x21, 3x14 et 6x7.
cas 3 :17 = 4 + 13 --> P aurait 52 et ne pourrait pas
choisir entre 2x26 et 4x13.
cas 4 :17 = 5 + 12 --> P aurait 60 et ne pourrait pas
choisir entre 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 et 6x10.
cas 5 :17 = 6 + 11 --> P aurait 66 et ne pourrait pas
choisir entre 2x33, 3x22 et 6x11.
cas 6 :17 = 7 + 10 --> P aurait 70 et ne pourrait pas
choisir entre 2x35, 5x14 et 7x10.
cas 7 :17 = 8 + 9 --> P aurait 72 et ne pourrait pas
choisir entre 2x36, 3x24, 4x18, 6x12 et 8x9.
donc S est certain que P ne peut pas choisir
P: Ah, alors, je connais l'âge des deux filles
P savait que S avait 17 ou 28... Si S avait eu 28, une décomposition possible de 28 est 17 + 11, donc S n'aurait
pas pu être certain
que P ne pouvait pas savoir... Donc S a 17. Donc P peut
trancher entre ses 2 possibilités...
S: Alors moi aussi!
Puisque P a pu trancher, ça signifie que l'age des filles
correspond a une des 7 décomposition possible de 17 pour
laquelle P peut éliminer les autres possibilités.
cas 1 :17 = 2 + 15 --> P aurait 30, il ne pouvait pas
choisir entre 2x15, 3x10 et 5x6. Mon renseignement lui a
permis de trancher. P pensait que je pouvais avoir 17, 13
ou 11. Que j'ai eu 17 ou 11, je pouvais lui dire que je
savais qu'il ne pouvait pas trouver. Donc P n'avait pas
30 (et les ages ne sont pas 2 et 15)
cas 2 :17 = 3 + 14 --> P aurait 42, il ne pouvait
pas choisir entre 2x21, 3x14 et 6x7. Mon renseignement
lui a permis de trancher. P pensait que je pouvais avoir
23, 17 ou 13. Que j'ai eu 17 ou 23, je pouvais lui dire
que je savais qu'il ne pouvait pas trouver. Donc P
n'avait pas 42 (et les ages ne sont pas 3 et 14)
cas 3 :17 = 4 + 13 --> P aurait 52, il ne pouvait pas
choisir entre 2x26 et 4x13. Mon renseignement lui a
permis de trancher. P pensait que je pouvais avoir 28 ou
17. Il savait qu'avec 28 je ne pouvais pas lui dire que
je savais qu'il ne pouvait pas trouver... donc ça marche,
les filles peuvent avoir 4 et 13 ans.
cas 4 :17 = 5 + 12 --> P aurait 60, il ne pouvait pas
choisir entre 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 et 6x10. Mon
renseignement lui a permis de trancher. P pensait que je
pouvais avoir 32, 23, 19, 17 ou 16. Que j'ai eu 17 ou 23,
je pouvais lui dire que je savais qu'il ne pouvait pas
trouver. Donc P n'avait pas 60 (et les ages ne sont pas 5
et 12)
cas 5 :17 = 6 + 11 --> P aurait 66, il ne pouvait pas
choisir entre 2x33, 3x22 et 6x11. Mon renseignement lui a
permis de trancher. P pensait que je pouvais avoir 35, 25
ou 17. Que j'ai eu 17 ou 35, je pouvais lui dire que je
savais qu'il ne pouvait pas trouver. Donc P
n'avait pas 66 (et les ages ne sont pas 6 et 11)
cas 6 :17 = 7 + 10 --> P aurait 70, il ne pouvait pas
choisir entre 2x35, 5x14 et 7x10. Mon renseignement lui a
permis de trancher. P pensait que je pouvais avoir 37, 19
ou 17. Que j'ai eu 17 ou 37, je pouvais lui dire que je
savais qu'il ne pouvait pas trouver. Donc P
n'avait pas 70 (et les ages ne sont pas 7 et 10)
cas 7 :17 = 8 + 9 --> P aurait 72, il ne pouvait pas
choisir entre 2x36, 3x24, 4x18, 6x12 et 8x9. Mon
renseignement lui a permis de trancher. P pensait que je
pouvais avoir 38, 27, 22, 18 ou 17. Que j'ai eu 17 ou 27,
je pouvais lui dire que je savais qu'il ne pouvait pas
trouver. Donc P n'avait pas 72 (et les ages ne sont pas 8
et 9)
*** Quatrième proposition :
X connaît la somme, Y connaît le produit
(R1) Y: je ne connais rien
(R2) X: moi non plus
(R3) Y: maintenant, je connais a et b
(R4) X: moi aussi
De (R1), on déduit que a et b ne sont pas simultanément
premiers. De (R2), on déduit que S n'est pas somme de
deux nombres premiers. Soit A l' ensemble des nombres qui
ne sont pas somme de deux nb premiers. A = { n ; n
impair, n-2 non premier }
De (R3), on déduit qu'il existe une décomposition
unique de P en ab, tels que a+b soit dans A
Soit B= { ab ; tel que a + b dans A ; pour tout a', b'
tel que (a', b')‚ (a,b) et a'b'= ab entraîne que a'=b'
n'est pas dans A}
Là, il faut un peu manipuler pour voir quelle est la
gueule de B
On constate facilement que, si q est premier ‚ 2, et
k„2, et si 2^k+q est dans A, alors 2^k x q est dans B
(je vous laisse le montrer)
De (R4), on déduit qu'il existe une décomposition
unique de S= a+b tel que ab soit dans B.
Il y a déjà un certain temps que j'ai fait ça et il
faudrait que je retrouve comment j'avais fait; mais
j'avais, avec une HP 48 (voire 28 à l'époque?)
construit A, puis B; puis j'étais tombé sur la solution
(4, 13)
13+4= 17 est dans A; 4*13=52 est dans B car il est bien
de la forme 2^k q Il reste à vérifier (R4); mais je
n'insiste pas puisque vous avez trouvé!
Et l'unicité?? En touillant, on arrive à montrer que
les éléments de B < 80 ne conviennent pas. J'espère
ne pas m'être gouré.
En fait il n'y a plus unicité si l'on considère que
ce n'est pas une concierge mais un concierge... surtout
si ce concierge s'appelle Eddy Barclay... En effet, il
pourrait avoir une fille de 4 ans et une fille de 61 ans
(c'est la solution la plus réaliste qui suit 4 et 13)...
De plus si on est sur la planète cnwvhjc du système
mlkqsd et que Mme bghcv qui l'habite est concierge d'un
nbvw* et qu'elle a deux... vous complèterez la suite...
eh bien ses deux filles pourraient bien avoir 2 et 445
ans (ou 4 et 211 ans ou un tas d'autres ages)...
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