010 Boules de billard

 

Voici la solution optimale , où le maximum utilisé est 44 :
7 33 42 3 44 43 6 29
26 9 39 41 1 37 23
17 30 2 40 36 14
13 28 38 4 22
15 10 34 18
5 24 16
19 8
11
Cette solution est unique, à une symétrie près.

Sur http://members.aol.com/alzimmerma/TriangleSpans.html, on trouvera les records du problème généralisé qui reste ouvert. 
D'autre part, à l'adresse http://dept-info.labri.u-bordeaux.fr/~loeb/french/a.html

on trouve un article qui démontre qu'il n'existe pas de triangle parfait de différences dont la taille est strictement supérieure à 8. (Un triangle de différences est ce qui est défini dans cette énigme, sa taille n est le nombre d'entiers de la première ligne, il est parfait s'il utilise exactement les entiers de 1 à n(n+1)/2.)
Comme il en existe de taille inférieure ou égale à 5 (voir l'exemple pour 5 dans l'énigme, et ils sont tous dans l'article), il ne reste plus qu'à prouver informatiquement qu'il n'en existe pas de taille 6, 7 et 8. L'article donne également des pistes pour prouver cela.