010 Boules de billard

 

Comment disposer en triangle les 15 boules ( numérotées de 1 à 15 ) au commencement d'une partie de billard américain de façon que chaque boule soit la différence des 2 boules situées immédiatement au-dessus ? (la solution est unique à une symétrie près)

Généralisation : Pyramide des différences

On peut généraliser le pb du dessus à une pyramide de n étages en cherchant à y placer les n ( n + 1 ) / 2 premiers entiers toujours de façon à ce qu'ils obéissent à la même règle.

avec n = 2 , par exemple :

3 2
1

avec n = 3 , par exemple :

1 6 4
5 2
3

avec n = 4 , par exemple ::

6 10 1 8
4 9 7
5 2
3

avec n = 5 , la solution est unique et ... c'est ce qui est demandé !

Et après ? il est possible que ce soit impossible mais on peut chercher à minimiser le plus gros nombre utilisé ; ce fut d'ailleurs la question subsidiaire d'un vieux concours dans un magazine pour le cas n=8 ...

solution