666+1332=1998
666*1332=887 112=444*1998

Les nombres malheureux sont les nombres qui n'ont pas de carré dans leur décomposition en facteurs premiers.

1er sens (le plus facile) :

Un nombre ayant un carré dans sa décomposition en facteurs premiers est un nombre heureux : soit a ce nombre.
On peut l'écrire a = p²a' où p est un nombre premier et où a' est un entier naturel
Les deux entiers cherchés sont alors pa' et a - pa'.
Leur somme est bien entendu égale à a et leur produit est apa' - p²a'² c'est à dire : a ( pa' - a' )

2 ème sens (ça se corse!) :

Un nombre n'ayant pas de carrés dans sa décomposition est un nombre malheureux ( le pauvre!). Soit a ce nombre.
On l'écrit a = P1P2P3 ... Pn où les Pi sont des nombres premiers tous distincts.
Soient b et c dans N* tels que b+c=a et a | bc
P1 divise bc donc (d'après le th de Gauss) P1 divise b ou c.
Si P1 divise b comme c = a - b , P1 divise c.
De même, si P1 divise c, P1 divise b.
Donc P1 divise b et c.
De même P2 | b et P2 | c.
P3 | b et P3 | c.
....
Pn | b et Pn | c.
On en conclut que a | b et que a | c, ce qui contredit l'égalité b + c = a. Donc a est malheureux.