Il y a 11 solutions : 1506 1507 1508 1509 1756 1758 1759 4123 4371 4871 4873

Exemple détaillé avec 1506 :
RIEN = 1506 ; RIEN + RIEN = 3012 = ZERO
R=1 I=5 E=0 N=6 Z=3 O=2

Recherche des 11 solutions :

cba <-- ce sont les retenues ( a, b, c = 0 ou 1 )
RIEN
RIEN
------
ZERO

soit algébriquement:

N + N = O + 10a
E + E + a = R + 10b
I + I + b = E + 10c
R + R + c = Z

qui se résout en (j'ai pris R,I,E,N comme variables dépendantes):

R = ( Z - c ) / 2
I = 2b + ( -2a + 39c + Z ) / 8
E = 5b + ( -2a - c + Z ) / 4
N = O / 2 + 5a

Il s'agit maintenant de réduire le nombre de cas à étudier.

On déduit des équations que :
1) R <= Z/2
2) Z - c est pair puisque R est entier,
3) O est pair puisque N est entier
4) -2a + 39c + Z est un multiple de 8
5) -2a -c + Z est un multiple de 4, et comme -2a + 39c + Z = -2a -c + Z + 40c = 8k, en fait
-2a - c + Z est un multiple de 8.
Remarque : La relation 5 implique les relations 2 et 4 car si -2a - c + Z = 8k, alors Z - c = 8k + 2a = 2 ( 4k + a ) redonne 2, et -2a + 39c + Z = -2a -c + Z + 40c = 8k + 40c = 8 ( k + 5c ) redonne 4.

1) donne R dans {0,1,2,3,4}
2) donne O dans {0,2,4,6,8}

Pour les retenues : il y a 8 cas à étudier : (a,b,c) = (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , (1,1,0) , (0,0,1) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1)

Cas (0,*,*)
4) devient Z - c multiple de 8 donc ( Z , c ) = ( 8 , 0 ) ou ( 9 , 1 ).
On a alors N = O / 2 donc ( N , O ) dans ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 )  , ( 4 , 8 ) car ( 0 , 0 ) ne convient pas

Cas (0,*,0)
On sait déjà a = 0, c = 0, Z = 8. Les équations donnent alors R = 4, I = 2b + 1, E = 5b + 2, ( N , O ) dans ( 1 , 2 ) , ( 3 , 6 ) car 4 et 8 sont déjà utilisés.

Cas (0,0,0)
On a alors I = 1, E = 2 et ( N , O ) = ( 3 , 6 ) : RIEN = 4123, ZERO = 8246 , soit 1 solution

Cas (0,1,0)
On a alors I = 3, E = 7 et ( N , O ) = ( 1 , 2 ) : RIEN = 4371, ZERO = 8742 , soit 1 solution

Cas (0,*,1)
On sait déjà a = 0, c = 1, Z = 9. Les équations donnent alors R = 4, I = 2b + 6, E = 5b + 2, ( N , O ) dans ( 1 , 2 ) , ( 3 , 6 ) car 4 est déjà utilisé.

Cas (0,0,1)
On a alors I = 6, E = 2 et il n'y a pas de solution pour ( N , O )

Cas (0,1,1)
On a alors I = 8, E = 7 et ( N , O ) = ( 1 , 2 ) ou ( 3 , 6 ) , soit 2 solutions
RIEN = 4871, ZERO = 9742 ou RIEN = 4873, ZERO = 9746

Cas (1,*,*)
4) devient Z - c - 2 multiple de 8 donc ( Z , c ) = ( 3 , 1 ) : c = 0 est impossible sinon
Z = 8k + 2 + c <= -2 ou >= 10 selon que k <=0 ou >=1
On a alors N = O / 2 + 5 donc ( N , O ) dans ( 5 , 0 ) , ( 6 , 2 ), ( 7 , 4 ), ( 8 , 6 ), ( 9 , 8 )

Cas (1,*,1)
On sait déjà a = 1, c = 1, Z = 3. Les équations donnent alors R = 1, I = 2b + 5, E =5b et il n'y a pas d'exclusion supplémentaire sur les valeurs de (N,O)

Cas (1,0,1)
On a alors I = 5, E = 0 et ( N , O ) = ( 6 , 2 ) , ( 7 , 4 ) , ( 8 , 6 ) ou ( 9 , 8 ) , soit 4 solutions.
RIEN=1506, ZERO=3012 ou RIEN=1507, ZERO=3014 ou RIEN=1508, ZERO=3016 ou RIEN=1509, ZERO=3018

Cas (1,1,1)
On a alors I = 7, E = 5 et ( N , O ) = ( 6 , 2 ) , ( 8 , 6 ) ou ( 9 , 8 ) , soit 3 solutions
RIEN=1756, ZERO=3512 ou RIEN=1758, ZERO=3516 ou RIEN=1759, ZERO=3518

Et on a bien en tout les 11 solutions.