1 ) a²-b² = ( a - b )( a + b ) = 25 . a >= 0 , b >= 0 , donc a + b >= 0 et a >= b. On a 25 = 5 X 5 ou 25 = 25 X 1
Avec a - b = 5 et a + b = 5 , on obtient a = 5 et b = 0. Avec a - b = 1 et a + b = 25 , on obtient a = 13 et b = 12

2 ) 123456 = 643 * 192 . 643 est un nombre premier.
Avec abc=192 , ab=19 et c=2, abc * bc * c = 192 * 19 * 2 = 7296
Avec abc=643 , ab=64 et c=3, abc * bc * c = 643 * 64 * 3 = 123456. Donc a = 6 ; b = 4 ; c = 3

3 ) C'est une application directe du principe de Dirichlet ( dit aussi principe des tiroirs, "The Pigeonhole Principle" en anglais ) : Si n + 1 objets sont rangés dans n tiroirs, alors au moins un tiroir contient au moins deux des objets.

Dans notre problème, les tiroirs sont les entiers de 0 à n - 1. Les objets qu'on met dans les tiroirs sont les nombres de la forme 111...11, suivant le reste de la division par n.

Autre démonstration :

Soit n un entier premier avec 10.
On cherche un entier k tel que kn = 111...111 (p fois le chiffre 1) ou encore 9 kn = 999...999 = 10^p - 1.
On cherche donc p tel que 10^p soit congru à 1 modulo 9n ; or 10 est premier avec n et avec 9, donc avec 9n. 10
appartient donc au groupe multiplicatif des entiers inversibles modulo 9n, Z / 9n Z. Un tel p existe donc, c'est un diviseur de phi ( 9n ), [ phi : indicateur d'Euler ], et le plus petit est l'ordre de 10 modulo 9n.
Exemple avec n=7 : p = phi(9*7) = phi(63) = 36 convient, mais p = 6, qui est l'ordre de 10 modulo 63 est le plus petit qui convient (6 est le plus petit entier p tel que 10^p = 1 modulo 63).