002 Les aiguilles de l' horloge
La réponse est non, et voilà pourquoi...
Soient H, M, S le nombre d'heures, minutes, secondes ( H
et M entiers positifs, S réel compris entre 0 et 60 ).
Les positions des aiguilles sont alors ( en °, à partir
du sommet du cadran ) :
secondes : s = ( 360 / 60 ) S = 6S
minutes : m = ( 360 / 60 ) [ M + ( S / 60 ) ] = 6 M
+ ( S / 10 )
heures : h = ( 360 / 12 ) [ H + ( M / 60 ) + ( S /
3600 ) ] = 30 H + ( M / 2 ) + ( S / 120 ).
On veut que : m = s + 120 [ 360 ] et h = s + 240 [ 360
] ou alors m = s - 120 [ 360 ] et h = s - 240 [ 360 ],
c'est-à-dire, avec e = 1 ou -1, qu'il existe deux
entiers p et q tels que m = s + 120e + 360p et h = s + 240e
+ 360q.
On obtient :
6M + S / 10 = 6S + 120e + 360p et 30H + M / 2 + S / 120 =
6S + 240e + 360q.
D' où :
S = ( 60M - 1200e - 3600p ) / 59 et S = ( 3600H + 60M -
28800e - 43200q ) / 719
Par conséquent :
719.( 60M - 1200e - 3600p ) = 59.( 3600H + 60M - 28800e -
43200q )
719.( M - 20e - 60p ) = 59.( 60H + M - 480e - 720q )
e.( 59X480 - 719X20 ) = 60.( 719p + 59H - 708q ) + ( 59 -
719 ).M
697.e = 3.( 719p + 59H - 708q - 11M ) avec e=1 ou -1 et H
, M , p , q entiers.
Ceci est impossible car 697 n'est pas divisible par 3.
Point de vue informatique :
On en est même assez loin: les deux réponses les plus
proches (triangles presque équilatéraux à moins de
0.2° près) sont centrées autour des deux créneaux
horaires suivants:
a) entre 2h 54min 34.54sec et 2h 54min 34.58sec
angle de l'aiguille des heures = 87,288°
angle de l'aiguille des minutes = entre 327,454° et
327,459°
angle de l'aiguille des secondes = entre 207,2° et
207.5°
b) entre 9h 5min 25.42sec et 9h 5min 25.46sec
angle de l'aiguille des heures = 272,712°
angle de l'aiguille des minutes = entre 32,542° et
32,546°
angle de l'aiguille des secondes = entre 152,5° et
152,8°
Tous ces résultats sont obtenus à l'aide d'un programme
informatique balayant l'espace des phases d'une manière
systématique. Dans le cas présent, il est impossible de
trouver une solution à moins de 0.1° près.
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